如图，在半径为2的半圆O中，BP为直径，点A是半圆弧上一点，∠AOB=90，点C是弧AP上一动点

Question

如题所述

Answer 1

（1）在△DOE中存在角度不变的角，∠DOC=45°，证明如下：
连接AB，OC，设BC，OE的交点为G
∵OA⊥BP，OE⊥AC，OA=OB=OC
∴△AOB是等腰直角三角形；∠2=∠COE
∴∠ABO=45°
又OD⊥BC
∴∠5+∠4=∠3+∠4=90°
∴∠3=∠5
∵∠AOC是弧AC的圆心角，∠1是弧AC的圆周角
∴∠1=∠AOC/2=∠2
∴∠ABO=∠1+∠5=∠2+∠3=45°
（2）过D作DF⊥OE
∵OD⊥BC，BC=2√3，OB=2，∠DOE=45°
∴△DOF和△DOG的等腰直角三角形
∴BD=BC/2=√3
∴OD=√（OB²-BD²）=√（2²-√3²）=1=OB/2
∴DF=OF=√2/2OD=√2/2
∴∠OBD=30°
∵∠ABO=45°
∴∠1=∠ABO-∠OBD=15°
又D，E分别是AC，BC的中点
∴DE∥AB
∴∠EDC=15°
∴∠CDF=∠EDC+∠CDF=60°
∴DE=2DF=√2
EF=√（DE²-DF²）=√6/2
∴OE=OF+EF=（√2+√6）/2
∴S△DOE=1/2DF•OE=1/2×√2/2×（√2+√6）/2=（1+√3）/4
（3）当AC=2OD即OE=OD时△ODC≌△CEO
可证△DOG≌△ECG
∵△DOG是等腰直角三角形
∴OD=DG=EG=CE
∴OG=√2•OD
∴OE=OG+EG=OG+OD=（√2+1）OD
在Rt△OEC中
OC²=OE²+CE²=[（√2+1）OD]²+OD²=2²
（4+2√2）OD=4
解得OD=CE=2-√2
∴OE=（√2+1）•（2-√2）=√2
∴S△CEO=1/2CE•OE=1/2×（2-√2）×√2=√2-1