求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字

Question

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．

Answer 1

原式=A=1×3×5×…×1999，
则A=（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×125×127×129）?…（1993×1995×1997×1999），
则A=125×[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]，
下面证明两个引理：
引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一
证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7．
则k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明：设B=（2n+1）（2n+3）（2n+5）（2n+7）
=（4n²+8n+3）（4n²+24n+35）
当n=2m时，B≡1 mod（8）
当n=2m+1时，B≡1 mod（8）
综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]
≡1?1?…?（123×127×129）?…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数．
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．