一道线性代数题

Question

请问，这道22题，答案没看太明白，这句话，因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化？不是相似对角化的重要条件是n阶矩阵有n个线性无关的特征向量吗？谢谢

Answer 1

n个不同的特征值，一定能对应n个不相关的特征向量。
但是如果特征值存在多重情况，那个多重的特征值不一定能找到对应数量的不相关的特征向量。（例如有一个二重特征值，这个特征值可能有两个不相关的特征向量，也可能只有一个。而后者就不可对角化）追问

这三个特征值为什么又说两两不同

？

不是三个不同的特征值，应该是三个各不相同吗

是不是意思是可以有二重？

追答

二重，就是有特征值相同了。
三个不同的特征值，当然就是两两不同。

Answer 2

特征值有一个定理，就是不同特征值对应的特征向量一定不相关。
所以说了有三个不同特征值，等于说有三个无关的特征向量。追问

为啥答案又说特征值两两不同？

不是三个不同的特征值吗？

到底是三个每一个都不同，还是两两不相同

在吗

追答

就是每一个都不同啊

Answer 3

m级矩阵A或n维线性空间V的线性变换可对角化的充要条件是或有n个线性无关的特征向量。

若 有n个不同的特征值，则A 可对角化。是上述的推论。

追问

图片看不清

若这三个特征值有两个相同呢？

还可以对角化了吗？

Answer 4

看到头疼