线性代数，如图，想问下答案中基础解，特解是怎么算的，用的什么概念？我看不懂，麻烦具体说下！

Question

如题所述

Answer 1

你可以先通过看矩阵的秩，也就是线性无关向量的个数，这个题中是3，所以其维度为1，所以其基础解系的个数有一个，对应齐次方程的通解只有一个自由变量，所以其齐次方程的通解为一非0解的k倍，所以其基础解系为(1,-2,1,0)T
求AX=b的特解，实际是找到X=(x1,x2,x3,x4)使x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=b成立，所以特解X=(1，1，1，1)追答

如果不懂的话可以追问，求采纳！

Answer 2

由 a1=2a2-a3, 则 A=(a1, a2, a3, a4) 的秩 r(A)=3. Ax=0 只有1个基础解系。
b=a1+a2+a3+a4=3a2+a4,
Ax=b，即 (2a2-a3, a2, a3, a4)x=(3a2+a4)， 故 x=(0, 3, 0, 1) ^T 是 Ax=b 的解.
又 Ax=b，即 (a1, a2, a3, a4)x=(a1+a2+a3+a4)， 故 x=(1, 1, 1, 1) ^T 是 Ax=b 的解.
于是(1,1,1,1) ^T-(0, 3, 0, 1) ^T =(1, -2, 1, 0) ^T 满足 Ax=0，
即 Ax=0 的基础解系是 (1, -2, 1, 0) ^T，
则 Ax=b 的通解是 x=(1,1,1,1) ^T+k(1, -2, 1, 0) ^T.