高数极限例题及详解 (求导)

Question

如题所述

Answer 1

a = [f''(0)]/2；b = f'(0)；c = f(0)
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解析：

令 g(x) = ax^2 + bx + c;

则 g'(x) = 2ax + b
g''(x) = 2a

二阶可导，即二阶导数存在，因此：
f''(0) = lim(x→0) [g''(x)] = 2a
a = [f''(0)]/2

因为二阶导数存在，所以一阶导数 [存在] 且 [连续]，因此：
f'(0) = lim(x→0) [g'(x)] = b

因为一阶导数存在，所以原函数 [连续]，因此：
f(0) = lim(x→0) [g(x)] = c

所以 g(x) = [f''(0)]*(x^2)/2 + f'(0) + f(0)追问

求c还是没懂

追答

F(x) 二阶可导，
所以一阶也可导，

即一阶导数存在，
所以 F(x) 必须 [处处连续]，不能有断点；
因此 F(x) 在 x=0 处连续：
所以 [当 x 趋近于 0 时，F(x) 的左极限与右极限相等，这是 "连续" 的定义］
当 x 趋近于 0 ，
左极限 = f(0)，
右极限 = lim(x→0) [ax^2 + bx + c] = 0+0+c = c

所以 c = f(0)