求过直线X-2=Y-3=（Z-4）/2且与平面2X+Y+Z-6=0垂直的平面方程

Question

如题所述

Answer 1

直线的方向向量为:(1,1,2)
平面的法向量为:(2,1,1)
所求平面的法向量设为(m,n,p)
则
2m+n+p=0（面面垂直）
m+n+2p=0（面的法向量垂直面内线，即垂直线的方向向量）
取m=1
则所求平面的法向量为：(1，-3，1)
所以所求平面方程可设为：
x-3y+z+b=0
在直线上取一个点，
令x=0，y=1，z=0
则(0,1,0)在所求平面内。(此点在直线上,直线在平面里)
所以
0-3+0+b=0
b=3
所以所求平面方程为：
x-3y+z+3=0

Answer 2

令:（x-2）/1=（y-3）/1=（z-4）/2=t
解出x=2+t,y=3+t,z=2t+4代入平面方程2x+y+z=0中得:
2（2+t）+3+t+2t+4=0
4+2t+3+t+2t+4=0
5t=-11
t=-5分之11
x=2+t=2-5分之11=-5分之1
y=3+t=3-5分之11=5分之4
z=2t+4=2×（-5分之11）+4=-5分之2
直线(x-2)/1=(y-3)/1=(z-4)/2与平面2x+y+z=0的交点为（-5分之1,5分之4，-5分之2）