大学高等数学练习题

Question

设f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+xy+3x-2y-6z，求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1)

Answer 1

解：第1题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。 又，lim(n→∞)|Un+1/Un|=|x|/R<l，故，其收敛区间为，|x|<1。
设S(x)=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，两边由S(x)对x求导、当|x|<1时，有S'(x)= ∑(-x)^n=1/(1+x)。两边从0到x积分，原式=ln(l+x)，其中，|x|<1。
第2题，解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。 又，lim(n→∞)|Un+1/Un|=(x^2)/R<1，故，其收敛区间为，|x|<1。
设S(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)，两边由S(x)对x求导、|x|<1时，有S'(x)= ∑x^(2n)=1/(1-x^2)。两边从0到x积分，原式=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中，|x|<1。
供参考。