实数x,y,z满足x+y+z=3,x2+y2+z2=9的情况下，求y-x最大值

Question

实数x,y,z满足x+y+z=3,x2+y2+z2=9的情况下，求y-x最大值。试着画了几个图，发现答案应该不是3，不会做。

Answer 1

本题另解(初二的二次方程知识)：

本题通用方法：全微分；本题步骤：

将所有条件等式全微分

用dz表示dx、dy

对要求极值的函数全微分，并将dx、dy用dz的表达式代入

由dz的系数(含x、y、z) = 0并联立条件解得稳定点

求稳定点的函数值并比较即可得极值；

本题完整解题过程：

虽然很多人点赞，但是踩的人也不少，

本题的解法可以用构造法，构造一个新的函数，但是大家看看网友“共同探讨55”的解题，满满一大篇，还离结果远着呢，而本人解法就 5 行，大家比较比较吧，还别说本人给出了一个更加简单的用初中二年级知识求解的方法，

本人微积分学的是江泽坚的数学分析，解题的理论依据，完全没有问题，

关于条件极值，变量 x、y、z，是有条件约束的，不是独立的变量，有一个条件，就可以减少一个变量，有两个条件就可以减少两个变量，这里有两个条件，所以问题的实质，求关于x、y、z 函数的极值，实际上就是求某一个变量的函数的极值，

如果还有人想踩，踩之前，应该把你们更高明的解法亮出来，否则算什么呀，

本解答经过修改、补充、完善。

Answer 2

就像你画的图，x,y,z是半径为3的球和x+y+z=3的平面相交得到的圆的点集。这个圆是过（3，0，0），（0，3，0），（0，0，3）的外接圆，半径为sqrt(6).将这个圆投影到x,y平面，就变成了长为sqrt(6),宽为sqrt(6)/2的椭圆，于是y-x的最大值就是与椭圆相切的y=x+a的a值。可以算出来这跟切线就是y=x向左上角45度角平移sqrt(6)的线。与y轴的交点就是sqrt(6)*sqrt(2)=2sqrt(3)。如图

Answer 3

z=3-(x+y)
x²+y²+[3-(x+y)]²=9
整理得x²+y²+xy-3(x+y)=0
作L=y-x+λ[x²+y²+xy-3(x+y)]
dL/dx=-1+λ(2x+y-3)=0
dL/dy=1+λ(2y+x-3)=0
dL/dλ=x²+y²+xy-3(x+y)=0
解得x=1+√3，y=1-√3或x=1-√3，y=1+√3
显然当x=1-√3，y=1+√3时，y-x有最大值2√3

Answer 4

Answer 5

给个正经点的解法，基于初中知识

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x+y+z=3

x+y=3-z

x2+y2+2xy=9-6z+z2

x2+y2+2xy=x2+y2+z2-6z+z2

2xy=2z2-6z

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(y-x)2=x2+y2-2xy

=x2+y2-2z2+6z

=9-3z2+6z

=-3(z2-2z-3)

=-3(z-3)(z+1)

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由抛物线性质易知，z=1，即z取在-1与3中点处时，抛物线取到最小值。带入z=1得：

(y-x)2<=(-3)*(-2)*2=12

得max(y-x)=sqrt(12)=2sqrt(3)