数学上韦达定理的由来及作用，

Question

如题所述

Answer 1

韦达简介

韦达（vieta's ，francois，seigneurdela
bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

韦达定理(vieta's theorem）的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中

设两个根为x1和x2

则x1+x2= -b/a

x1*x2=c/a

韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑aix^i=0

它的根记作x1,x2…,xn

我们有

∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)

∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)

…

Πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理的证明
设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
根据求根公式，有

x_1=[-b + -\sqrt
(b^2-4ac)]/2a,

所以

x_1+x_2=[-b +(-) \sqrt (b^2-4ac)]/2a+[-b -
\sqrt (b^2-4ac)]/2a=-b/a

韦达定理的应用韦达定理的应用韦达定理的应用韦达定理的应用：：：： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，，，，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2)
浅谈韦达定理在解题中的应用浅谈韦达定理在解题中的应用浅谈韦达定理在解题中的应用浅谈韦达定理在解题中的应用 韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．
一一一一、、、、直接应用韦达定理直接应用韦达定理直接应用韦达定理直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理． 例例例例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d． 求证： (1)c＋d＝2bcosA； (2)c·d＝b2－a2． 分析分析分析分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明． 证明证明证明证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA； a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)． ∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0， d2－2bdcosA＋b2－a2＝0． 于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根． 由韦达定理，有 c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2． 例例例例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 分析分析分析分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解． 解解解解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2． 二二二二、、、、先恒等变形先恒等变形先恒等变形先恒等变形，，，，再应用韦达定理再应用韦达定理再应用韦达定理再应用韦达定理 若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理． 例例例例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明证明证明证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9． 由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0． 于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y． 由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理 三三三三、、、、已知一元二次方程两根的关系已知一元二次方程两根的关系已知一元二次方程两根的关系已知一元二次方程两根的关系(或系数关系或系数关系或系数关系或系数关系)求系数关系求系数关系求系数关系求系数关系(或求两根的关系或求两根的关系或求两根的关系或求两根的关系)，，，，可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理 例例例例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程． 解解解解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P，
a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③ 把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1． ∴ 方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2． 例例例例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4． 证明证明证明证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇． 由题意知α－β＝α＇－β＇， 故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．① 把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0． 故p－q＝0或p＋q＋4＝0， 即p＝q或p＋q＝－4． 四四四四、、、、关于两个一元二次方程有公共根的题目关于两个一元二次方程有公共根的题目关于两个一元二次方程有公共根的题目关于两个一元二次方程有公共根的题目，，，，可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理可考虑用韦达定理 例例例例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．
解解解解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0． ∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2． 故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．

Answer 2

韦达定理给出多项式方程的根与系数的关系，所以又简称根系关系

Answer 3

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
　　设两个根为X1和X2
　　则X1+X2= -b/a
　　X1*X2=c/a
　　用韦达定理判断方程的根
　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
　　若b^2-4ac≥0则方程有实数根
　　若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

Answer 4

 

韦达定理应用：如果给出二次函数图象与x轴交点坐标，以及另外一个条件，可以求二次函数解析式，对称轴等；