如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，

Question

如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．（1）填写下表：层数123456该层对应的点数____________________________________所有层的总点数____________________________________（2）写出第n层所对应的点数；（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗；（4）有没有一层，它的点数为100点；（5）写出n层的六边形点阵的总点数．

Answer 1

（1）如表：

层数	1	2	3	4	5	6
该层对应的点数	1	6	12	18	24	30
所有层的总点数	1	7	19	37	61	91

（2）第n层所对应的点数为n；
（3）第n层有（6n-6）个点，
则有6n-6=96，
解得n=17，
即在第17层；
（4）6n-6=100
解得n=

53

3

，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；
（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]
=1+6×

n(n?1)

2

=1+3n（n-1）．
第n层六边形的点阵的总点数为：1+3n（n-1）=3n²-3n+1．