过程与结果如下，可以先补平面，然后利用高斯公式求解
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第1个回答 2021-09-12
补充平面 ∑1 ： z = 1（x^2+y^2 ≤ 1）, 取上侧， 与 ∑ 组成封闭曲面，则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<∑1>， 前者用高斯公式， 后者 z = 1， dz = 0，
I = ∫∫∫<Ω> 3dxdydz - ∫∫ < x^2+y^2 ≤ 1 > dxdy
= 3∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z> rdr - π
= 6π∫<0, 1>(z^2/2)dz - π = π[z^3]<0, 1> - π = 0
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<∑1>， 前者用高斯公式， 后者 z = 1， dz = 0，
I = ∫∫∫<Ω> 3dxdydz - ∫∫ < x^2+y^2 ≤ 1 > dxdy
= 3∫<0, 1>dz∫<0, 2π>dt∫<0, z> rdr - π
= 6π∫<0, 1>(z^2/2)dz - π = π[z^3]<0, 1> - π = 0
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