一元三次方程的根的公式推导

Question

如题所述

Answer 1

任意实系数三次方程的古典解法：
对于ax³+bx²+cx+d=0（a≠0），先做代换：x=y-[b/(3a)]，方程可转换为：
y³+py+q=0
其中p=c-(b²/3a)，q=d-[(2b³+9abc)/27a²]
令y=m+n，且M=m³，N=n³，代入上述方程得到：
(m+n)³+p(m+n)+q=0
(m+n)(p+3mn)+(q+m³+n³)=0
若满足m³+n³=-q且mn=-p/3则上式成立，即：
M+N=-q和MN=(-p/3)³=-p³/27
根据韦达定理，显然M和N就是如下一元二次方程的根：
z²+qz-(p³/27)=0
z1,2=｛-q±√[q²+4(p³/27)]｝/2=(-q/2)±√[(q/2)²+(p/3)³]
显然判别式为：Δ=(q/2)²+(p/3)³
根据Δ的符号可以计算出M和N，进而得到三个y值，最后变换到x的值。（注意M和N要按复数开方法则求出m和n，每个m或n对应三个复数根，m+n组合成三个y值，特别注意要选择mn=-p/3的值来组合！）

 

当Δ>0，M和N为相异实根，y为一实根和两共轭复根；
当Δ=0，M和N为相等实根，y为一实根和两个等实根；
当Δ<0，M和N为共轭复根，y为三个相异实根。【这里要用虚数才能算出实根，历史上应用虚数就是从这里引入的，而不是吃饱了撑的去解x²=-1】
最后反变换x=y-[b/(3a)]得到最终x的解。
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参考资料：可百度“卡尔丹公式”或“卡尔丹方法”

Answer 2

盆友,用拉普拉斯进行变换可以随意求解高阶方程。。

Answer 3

是有求根公式的，只是有几个版本，而且也挺复杂的请看维基百科给出的三个不同的方法：
以下是两个例子：答案在图片上，点击可放大。不懂请追问，满意请及时采纳，谢谢☆⌒_⌒☆

提问者评价

谢谢!