高分！！！！讲一下三重积分球面坐标R的范围怎么确定？

Question

因为有时候画不出图

Answer 1

解答：

假设球面方程为x^2+y^2+z^2=R^2
取定一个z，当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2=R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
这样x也就唯一确定了，也就是相当于二重积分了（与你所说的三重积分矛盾），拓扑上可以证明球面确实与R^2同胚，实际上我们名词上也说了很清楚球面面嘛！

故我猜测你说的是体积分，也就是x^2+y^2+z^2≤R^2，下面有
取定一个z，当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2≤R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
得到x^2≤R^2-z^2-y^2,则x的范围为-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
积分顺序是先积x，-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
再积y,从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
最后积z，从-R到R。
但是一般球面或者球体积分都用坐标变换成极坐标去积分会简单很多，z=rcosφ，y=rsinφsinθ,x=rsinφcosθ,其中r从0到R，φ从0到π，θ从0到2π

Answer 2

1：在整个球域内R的积分段[0，R]，在做笛卡尔坐标转换为极坐标时，要注意被积函数多出来的部分。确定球投影的平面，再利用极坐标将x,y分别用theta,r,代换。
2：若积分区间不是整个球域的，用补全后减去补的积分区间的办法。目的是方便求解。你看，半球的球半径R0，是指以R0为半径的球面，在这个部分球下，是找不到这个最小的球面的。补全法指：补出一个下锥，以球心O为顶点。减去的部分的积分区间不过是一个圆锥域，对这个圆锥域做三重积分，当然就简单了。
另外说一句，在第二种情况下，直接不用球坐标积分也是一样的方便。那考虑的不过是[z1,z2]这个积分区间，他们都是x,y的函数。你说呢？
希望对你有帮助。

Answer 3

假设球面方程为x^2+y^2+z^2=R^2
取定一个z，当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2=R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
这样x也就唯一确定了，也就是相当于二重积分了（与你所说的三重积分矛盾），拓扑上可以证明球面确实与R^2同胚，实际上我们名词上也说了很清楚球面面嘛！

故我猜测你说的是体积分，也就是x^2+y^2+z^2≤R^2，下面有
取定一个z，当然z的范围可以从-R到R
得到的一个截面为一个圆x^2+y^2≤R^2-z^2;
取定y,则y的范围可以从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
得到x^2≤R^2-z^2-y^2,则x的范围为-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
积分顺序是先积x，-（R^2-z^2-y^2）^(1/2)到（R^2-z^2-y^2）^(1/2)；
再积y,从-（R^2-z^2）^(1/2)到（R^2-z^2）^(1/2)；
最后积z，从-R到R。
但是一般球面或者球体积分都用坐标变换成极坐标去积分会简单很多，z=rcosφ，y=rsinφsinθ,x=rsinφcosθ,其中r从0到R，φ从0到π，θ从0到2π

Answer 4

直角坐标化球面坐标，就是求√(x²+y²+z²)的范围
就是把x,y,z的取值范围分别平方，然后加起来
如果取值范围全是正的或全是负的，直接平方就行了
如果取值范围上下限不同号，就取绝对值较大的那个平方作为上限，下限是0
（不等式知识）
比如1<x<3，则1<x²<9
若-1<x<3，则0<x²<9
等等类推

柱面坐标化球面坐标就是求√(r²+z²)的范围
求法同上，只要知道r和z的范围，就知道R的范围了

如果任意给一个曲面让你求R
一般会给在某一个面上的投影，这时候可以确定两个变量的关系及取值范围，第三个变量可以由曲面方程变换成关于前两个变量的二元函数，然后求出取值范围及与前两个自变量的关系

再不懂的话给我发几道典型题，我挨个类型给你讲