二次函数

Question

1.抛物线y=ax^+bx=c经过(-1,-22),(0,-8),(2,8)三个点,求它开口方向，对称轴和顶点坐标
2.怎么确定抛物线的最高点最低点
3.二次函数的考点是什么
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Answer 1

1.根据题意得：
-22=a-b+c
-8=c
8=4a+2b+c
解之得：
a=-2,b=12,c=-8
y=-2x^2+12x-8
=-2(x-3)^2+10
开口方向向下，对称轴是：x=3,顶点坐标是（3，10）。
2.当a＞0时，开口向上，抛物线的最低点的坐标是（-b/2a,(4ac-b^2)/4ac）
当a＜0 时，开口向下，抛物线的最高点的坐标是(-b/2a,(4ac-b^2)/4ac)
3.二次函数的考点主要是二次函数的解析式，开口方向，对称轴，顶点坐标和抛物线与x轴交点的坐标，两交点坐标的距离。

Answer 2

y=ax^+bx+c经过(-1,-22),(0,-8),(2,8)三个点
坐标代入得:
a-b+c=-22
0+0+c=-8
4a+2b+c=8

解得:a=-2,b=12,c=-8
即解析式是y=-2x^2+12x-8
配方得:y=-2(x-3)^2+10
所以,对称轴是x=3,顶点坐标是(3,10)
因为a=-2<0,所以开口向下,有最大值是:10.(当x=3时取得.)

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Answer 3

把(-1,-22),(0,-8),(2,8)三个点分别代入方程
联立解出
a=-2

b=12
c=-8

因为a＜0
所以开口向下

对称轴是
x=-b/(2a)＝3

顶点为
(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
即（3，10）

a＜0开口向下有最高点
a＞0开口向上有最低点
一般用配方来求顶点

二次函数的考点一般是解析式子的求法，最值的求解，图象的应用等

Answer 4

1.将三点带入原式
a-b+c=-22
c=-8
4a+2b+c=8

a=-2 b=12 c=-8

因a<0,所以开口向下

对称轴x=-b/(2a)=3

顶点坐标顶点坐标
x=-b/(2a)=3
y=(4ac-b^2)/4a=-10

(3,-10)

2.怎么确定抛物线的最高点最低点
a>0时，抛物线开口向上，有最低点
a＜0时，抛物线开口向下，有最高点

3.二次函数的考点是什么

二次函数：y=ax^2+bx+c （a,b,c是常数，且a不等于0）
a>0开口向上
a<0开口向下
a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧
|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|
与y轴交点为(0,c)
b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根
b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根
b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根
对称轴x=-b/2a
顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减
函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减

当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和 x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法

①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .

二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

Answer 5

将3个点代入到抛物线中去
得到3个关于a，b，c的3元一次方程，并且求解
a-b+c=-22
c=-8
4a+2b+c=8

所以
a=-2 b=12 c=-8

所以抛物线 y=-2x^+12x-8
=-2(x^-6x+4)
=-2(x^-6x+9-5)
=-2(x-3)^+10
所以开口方向 向下 对称轴x=3 顶点坐标(3,10)

2.由于抛物线图像开口向下，又因为其图像无限延伸的，所以只有最高点，且为顶点(3,10)

判断依据，就是根据其图像性质而来，开口向上的抛物线，有最低点，开口向下的抛物线，有最高点，均为顶点

3.通式是最基本的，然后对称轴，顶点，与x轴交点等之类的，反正是通过已知，反复就求其他关系。

一、命题趋势
二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.做为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计2007年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，分值一般为9～15分，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.主要考点有：
1.借助半面直角坐标系，以数形结合的方式研究二次函数图象和性质
2.用待定系数法求二次函数解析式，并能根据二次函数解析式画出相应的函数图象，结合图象研究二次函数相关性质
3.构建二次函数模型，解实际问题

【小结】 用二次函数知识解决实际问题特别是与实际生活相关的经济型问题是中考命题的热点，通常体现在与极值问题、几何问题相结合，找到最优化解决方案，最佳位置等等.
4.以二次函数为背景的综合题常做为中考命题的压轴题，题型丰富，难度大，考查知识点多，条件错综复杂，解这类题型的关键是善于利用有关性质，定理以及函数的图象、性质并挖掘题中的隐含条件，寻求简捷的解题方案
二、应考策略
我们在复习时应注意以下几个方面：
1.深刻理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数图象；
2.能根据二次函数图象特征概括二次函数的性质；
3.理解二次函数与二次方程的关系，会用图象法解一元二次方程；
4.会用待定系数法求解析式，用配方法或公式求抛物线顶点坐标.
5.重视二次函数与实际问题，能构建函数模型解决反映时代气息的实际问题.
6.对于二次函数与其他知识的综合应多加练习

Answer 6

-22=a-22b-c
-8=c
8=4a+2b-c
得a=-2\3
b=-8
c=-80\3
开口 (向下a<0)