1 在平面直角坐标系中 已知抛物线y=1/3x²-2/3x-1 抛物线经过A(-1,0)B(3,0)C(0,-1)三点
问题 点Q在y轴上 点P在抛物线上 要使 以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形 求所有满足条件的点P的坐标
2 在平面直角坐标系中 已知抛物线y=1/2x²+x-4 经过A(-4,0)B(0,-4)C(2,0)三点 若点P是抛物线上的动点 点Q是直线y=-x上的动点 判断有几个位置是以P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形 求出相应的点Q的坐标
1.解:设P(x,y);
∵平行四边形QPAB;
∴QP‖AB,则点Q坐标为(0,y);
QP=AB;
∵QP=|x|,AB=|-1-3|=4;
∴x=±4;
又∵点P在抛物线上;
∴P1(4,5/3),P2(-4,7).
2.解:设Q(x,-x);
∵平行四边形PQBO;
∴PQ‖OB,PQ=OB=|0-(-4)|=4,则P(x,-x±4);
∵点P在抛物线上;
∴-x+4=0.5x²+x-4 或-x-4=0.5x²+x-4;
解得:x1=2√5-2,x2=-2√5-2,x3=0(舍去),x4=-4;
∴ Q1(2√5-2,-2√5+2),Q2(-2√5-2,2√5+2),Q3(-4,4).
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1.解:设P(x,y);
∵平行四边形QPAB,PQAB;
∴QP‖AB,则点Q坐标为(0,y);
QP=AB;
∵QP=|x|,AB=|-1-3|=4;
∴x=±4;
又∵点P在抛物线上;
∴P1(4,5/3),P2(-4,7);
若平行四边形APBQ;
设P3(x,y),Q3,AB中点D(1,0);
则P3,Q3关于点D对称;
∴1/2(x+0)=1;
∴x=2,y=1/3x²-2/3x-1=-1;
∴P3(2,-1);
综上所述,P1(4,5/3),P2(-4,7),P3(2,-1).
2.解:设Q(x,-x);
∵平行四边形PQBO,PQOB;
∴PQ‖OB,PQ=OB=|0-(-4)|=4,则P(x,-x±4);
∵点P在抛物线上y=1/2x²+x-4的图像上;
∴-x+4=0.5x²+x-4 或-x-4=0.5x²+x-4;
解得:x1=2√5-2,x2=-2√5-2,x3=0(舍去),x4=-4;
∴ Q1(2√5-2,-2√5+2),Q2(-2√5-2,2√5+2),Q3(-4,4);
若平行四边形OBPQ;
设Q4(x,-x),P(m,n),OB中点D(0,-2);
∵PQ关于点D对称;
∴1/2(x+m)=0,1/2(-x+n)=-2;
得:m=-x,n=x-4;
又∵P(-x,x-4)在抛物线y=1/2x²+x-4的图像上;
∴x-4=1/2(-x)²+(-x)-4;
解得:x1=0(舍去),x2=4;
∴Q4(4,-4);
综上所述, Q1(2√5-2,-2√5+2),Q2(-2√5-2,2√5+2),Q3(-4,4),Q4(4,-4).