高二数学 立体几何

Question

一个三棱锥P-ABC中，AB=AC=15，BC=18，侧面与底面成60°，求侧面积和体积
体现步骤 谢谢可

Answer 1

解：过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过点O分别

作OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为E，F，G.

分别连结PE，PF，PG.

则由三垂线定理得PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC.

∴∠PEO是二面角P-AB-C的平面角，∴∠PEO=60°

∵侧面与底面所成的角都为60°

∴PE=PF=PG，OE=OF=OG，F为BC的中点，

∴A，O，F三点在同一直线上，

∵AB=15，BF=1/2BC=9，BE=BF=9,AE=AB-BE=6

∴在Rt△ABF中，AF^2=AB^2-BF^2

∴AF=12

设OE=OF=OG=r，则AO=12- r

在Rt△AOE中，AO^2=AE^2+OE^2

即(12- r) ^2=r^2+6^2

r=9/2

在Rt△PEO中，∵∠PEO=60°

∴PE=OE/cos60°=9，PO=OE*tan60°=(9/2)√3.

S侧=1/2*AB*PE+1/2*BC*PF+1/2*AC*PG

   =1/2*(AB+BC+AC)*PE=216

V P-ABC=1/3*S△ABC*PO

    =1/3*1/2*BC*AF*PO=162√3.

(说明：“√3”为“根号3”)