谁能给我解释一下二重积分的概念及表达意义!

Question

最近学到二重积分有些不明白,书上概念和几何意义都是说它是求曲顶柱体的体积,那做题时又发现有时二重积分求的是面积,到底怎么理解二重积分的意义及表达式呢?
不要给我搬一大堆概念和性质,我书上也有一大堆,要具体解决我提出的问题!!

Answer 1

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…，n），并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和n/i=1 ∑(ξi,ηi)Δδi.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim ∑f(ξi,ηi)Δδi
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.

Answer 2

二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.