非其次线性方程组AX=b中未知量的个数为n,方程的个数为m,系数矩阵A的秩为r,则()

A r＝m时方程组有解 B r＝m时方程有唯一解 Cm＝n时方程组有唯一解 D r＜n时方程组有无穷解我觉得是D，D不是判断标准吗？
请详细解释，谢谢了！

推荐答案推荐于2018-03-20

因为是非齐次线性方程组, 首要问题是方程组有解
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 r(A) = r(A,b)
所以(D),(C)都不对
当r = m时, m >= r(A,b) >= r(A) = r = m
此时方程组有解.
若 r=m=n 有唯一解, r=m<n 有无穷多解
所以 (A) 正确.

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第1个回答 2011-04-16

首先：D是错的， r＜n时，可能无穷多解也可能无解。因为非齐次方程有解的充分必要条件是系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩！题目没有给出条件，所以不能确定。
其次：当系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=n（未知量个数，即列数）时，有唯一解。所以B错误！
再次，参照第一条，非齐次方程有解的充分必要条件是系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩，A错误！
答案选C。当未知量个数等于方程的个数时，有唯一解！

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