高中物理题 有关微积分

Question

1）单说第三问的R上热量，0-4s在R上的热量的问题，R=1欧，Q=R*t*I^2,用三角形面积s=0.5*底*高=0.5*I*t=0.5*0.8*4=1.6 Q=S*I（平均）=1.6*0.4=0.64J ，如此说来，第三问给的0.64J有何用？ 2)我们老师说这应该是用微积分的知识求出来的，那么如何微分求Q?

万分感谢！！！

Answer 1

很好, 我们知道电流了对吧?
那么每一时刻, 电阻 R 的功率是多少呢? I^2R 对吧?
画图的话就是一条抛物线
P 是 t 的函数计作 P(t) = 0.04*t^2*R = 0.04t^2
那么做功呢? 显然当功率随时间变化的情况下, 不能把 W 看作简单的 P*t
实际上, 如果画一个 P-t 的函数图, 那是一条抛物线, W 是抛物线下面的面积
一般情况下, 这就不是初等数学能解决的问题了

你的算法是没有依据的, 请仔细想一下, 三棱锥的体积应该怎么算呢? 本题面中做功恰恰就是三棱锥的体积, 三棱锥的体积等于 1/3 I' ^2 t', 而不是 I' t' /2 * I'/2 这里 I', t' 为图乙中 I, t 的最大值 0.8, 4, 很不幸你算错了, 出这个题目的笨蛋也算错了

实际上 W = ∫Pdt = ∫ 0.04t^2 dt = 0.04/3 ∫3t^2 dt = 0.04/3 * t^3 = 0.04/3 * 64 = 0.64 * 4 / 3
t^3 的导数是 3t^2 啊

对于你试图用初等数学计算的想法, 还是非常欣赏的, 只不过你考虑得稍微有点想当然, 不是任何条件下, 都能用算术平均值来乘的, 圆锥体积, 你拿平均的截面面积乘高度, 还是乘以"平均高度h/2", 肯定都是得到错误的答案.....

不过稍微再往前走一步, 想象一下 I^2 是什么? 你在 I-t 图上, 再加一个维度 I'', I'' 垂直于 I, t 轴, 构成一个三维坐标系, 那么 I^2 就是, 一个正方形的面积
然后看做功 I^2 t 呢? 就是一个躺着的斜三棱锥, 底面是 0.8A * 0.8A 的正方形, 此时 t = 4; 棱锥定点就是原点..... 做功就是这个棱锥的体积....追问

那我用2楼的方法就能算出0.64啊？ 怎么回事呀？ 求解！！

追答

那么请问 t^2dt 积分是什么? t^3 的导数是什么? 二楼把积分和导数算错了.....

追问前我补充了答案, 请再看看, 思考一下, 呵呵

Answer 2

准确的说是积分求Q，R*t*I^2对时间t从0秒积分到4秒就得到Q。 积分是微分（求导数）的逆运算，就几何图上来讲，就等于积分函数（此处的R*t*I^2）的曲线与X轴围成的面积，如果在X轴下方则取负值。 对此题，围成的图形是三角形，你当然能算出来，要不规则的也能算，得等你大一学了“高等数学”才行。
多说一句，函数R*t*I^2对t的“积分函数”为[R*(I^2)*(T^2)]/2,你把其他量看做常数，对[R*(I^2)*(T^2)]/2求导数便得到“被积函数”R*t*I^2。 把t=0和t=4代入积分函数，想减得到“定积分”Q=0.64。 你可以试试算时间从1秒到4秒的面积 和 将t=1及t=4代入后想减的值，二者相等。追问

那您看下楼下的解法，我觉得都有道理啊？为何结果不同？求指点

Answer 3

应该是微积分没有错，但没有必要去知道如何算的。
0.64的作用：由Q=R*t*I^2既r=0.25,R=1可知，r上产生的热量是R的1/4，即0.16焦耳，拉力做的功一部分转化为内能，一部分转化为动能，一部分转化为重力势能。追问

解题过程我清楚，利用功能关系，我想要知道的就是0.64如何用积分来求的

追答

那你要问数学老师。

追问

行吧。

Answer 4

这题不是用微积分，能量守恒就行了。