已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断△ABC的形状

Question

已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断△ABC的形状．

Answer 1

∵a²+b²+c²-ab-bc-ca
=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（c²-2ca+a²）]
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
又∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，
∴

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0，
根据非负数的性质得，（a-b）²=0，（b-c）²=0，（c-a）²=0，
可知a=b=c，
故这个三角形是等边三角形．