求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 xy=e^(x+y)

Question

如题所述

Answer 1

解：两边对x求导数，
得：xy'+y=(1+y')e^(x+y)
再对x求导
xy"+y'+y'=(1+y')²e^(x+y) +y"e^(x+y)
[x-e^(x+y)]y"=[(1+y')²-2y']e^(x+y)
y"=[(1+y')²-2y']e^(x+y)]/[x-e^(x+y)].追问

答案写的是y/x^2(y-1)^3

追答

答案是先把原方程两边取对数，再两边对x求两次导，第一次求导得y'，代入第二次求导的结果y"里即得。

Answer 2

xy=e^(x+y)
xy=e^xe^y
xe^(-x)=e^y/y
e^(-x)-xe^(-x)=y'(e^y/y-e^y/y^2) y'=[e^(-x)-xe^(-x)]/(e^y/y-e^y/y^2)
-2e^(-x)+xe^(-x)=y''(e^y/y-e^y/y^2)+y'^2(e^y/y+2e^y/y^3)
y''= [-2e^(-x)+xe^(-x)]/(e^y/y-e^y/y^2) - (e^y/y+2e^y/y^3) [e^(-x)-xe^(-x)]^2 / (e^y/y-e^y/y^2)^3追问

答案写的是y/x^2(y-1)^3

追答

lnxy=x+y
x-lnx=lny-y
1-1/x=y'(1/y-1) y'=(x-1)y/[x(1-y)]
1/x^2=y''(1/y-1)+y'(-1/y^2)
1/x^2+y'/y^2=y''(1/y-1)
y''=1/[x^2(1-y)]+(x-1)/[xy(1-y)^2]

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