有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一,在现实生活中有广泛的应用,是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。数学上,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。
0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。
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一、命名由来
“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。
中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。
所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
二、有理数运算定律
1、加法运算律:
1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即 。
2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变,即:
(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a
2、减法运算律:
减法运算律:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即:
a-b=a+(-b)
3、乘法运算律:
1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即:
a(b+c)=ab+ac。
2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数先乘,或者先把后两个相乘,积不变,即:
(ab)c=a(bc)
3)乘法分配律:某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,即:
ab=ba
参考资料来源:百度百科-有理数
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。
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有理数的运算律(a、b、c等都表示任意的有理数):
1、加法的交换律:a+b=b+a。
2、加法的结合律:a+(b+c)=(a+b)+c。
3、存在加法的单位元0,使0+a=a+0=a。
4、对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0。
5、乘法的交换律:ab=ba。
6、乘法的结合律;a(bc)=(ab)c。
7、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac。
8、存在乘法的单位元1,使得对任意有理数a,有1×a=a×1=a。
9、对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使1/a×a=a×1/a=1。
10、0a=0说明:一个数乘0还等于0。
参考资料来源:百度百科-有理数
本回答被网友采纳数学上,有理数是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数,即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数,有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合,而有理数则为有理数集中的所有元素。
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1、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
2、数轴是研究数学的重要模型,也是“数形结合”的重要体现。
3、数轴是一条可以向两端无限延伸的直线,数轴的三要素:原点、单位长度、正方向是根据实际需要“规定”的,通常选取向右的方向为数轴的正方向。
4、在数轴上,互为相反数的两个数对应的点在原点的两旁,离原点的距离相等。
5、数a的相反数是-a,若a、b互为相反数,则a+b=0。
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