幂级数∑（n=1~无穷）nX^n-1,则和函数S(0)咋求啊,

Question

如题所述

Answer 1

对S(x)=∑（n=1~无穷）nX^n-1积分得1/（1-x)+C
再求导 有S(x)=1/(1-x)^2
所以S(0)=1
另外也可以直接以x=0代入可得S（0）=1

Answer 2

S(x)=∑（n=1~无穷）nX^n-1
两边积分：
P(x)=∑（n=1~无穷) X^n=1/(1-x)
再求导：
S(x)=1/(1-x)^2
S(0)=1

Answer 3

∑（n=1~无穷）nX^n-1
=1+2x+3x^2+......
=s(x)
x=0时
s(0)=1

Answer 4

S(0)=∑（n=1~无穷）0=0追问

为什莫

追答

把x=0直接代入，各项均等于0

追问

我跟二楼的算法一样，
∑（n=1~无穷）nX^n-1
=1+2x+3x^2+......
=s(x)
x=0时
s(0)=1
不过为什莫是s(0)=0呢

追答

问题在于n=1时
当n=1时，级数的那一项为1*0^(1-1)=1*0^0
0的0次方等于几，这个级数和就等于几，我们的差别在这个地方。

追问

0的0次方是没有意义的，那到底咋算S（0）

追答

那就说明S（0）没意义呗。

追问

不过考研有一道题是∑（n=1~无穷）n（1/2^n-1）那我问你咋解，答案是4，
S（0）=0是4，S（0）=1是5

追答

我下去研究下吧，不过我问过老师了，0的0次方确实没意义。

如果这个级数有和，那么在其未求出和函数之前，把未知数的值代入也是有解的。

追问

告诉你，那道题是1999年考研数学三的填空题第二题

追答

你先别追问，我找个数学系的专家给你看一下。几分钟后回

我咨询了数学系的同学，有如下思路：
s(0)显然等于1。直接代入是可以的，但第一项是常数项，规定x^0=1，
为了方便，对幂级数我们anxn我们已经做了规定, 它就是a0+a1x^1+a2x^2+...
因此s(0)=a0，a0就是幂级数的第一项，常数项，也就是x^0前面的系数，x^0规定等于1
因此，此题直接代入后，就只剩下常数项，也就是1。

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