空间直线绕一坐标轴旋转，旋转曲面方程如何求？

Question

直线方程随便哪种都可以，最好讲讲为什么

Answer 1

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设yOz面上的曲线F(y,z)=0，求其绕y轴旋转一周所产生的旋转曲面方程。

例题

直线L：  x/2=(y-2)/0=z/3绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为

解答

可首先将该直线化为参数方程较为简单，即

x=2t,  y=2,  z=3t

则有 x^2+y^2=(2t)^2+2^2=4t^2+4=4/9(3t)^2+4=4/9z^2+4

即所求旋转曲面的方程为

x^2/4+y^2/4-z^2/9=1

Answer 2

空间曲线为z+y²=1，
绕z轴旋转，则将y换成±√x²+y²
得出旋转曲面：z+x²+y²=1
(1)交点式变参数式
x=p(t)，y=q(t)，z=r(t)
(2)比如，绕z轴旋转，
得到的曲面的类参数式方程为：
x^2+y^2=p(t)^2+q(t)^2
z=r(t)
消去参数t即可。

延伸回答

旋转曲面及其方程中曲面方程的求法?

设平面曲线方程为：f(y,z)=0
绕z轴旋转一周结果为：z不动,将y改写为：±√(x²+y²)
即：f(±√(x²+y²),z)=0
若是绕其它轴旋转,类似处理。

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Answer 3

1. 对于直线上的某一个点 Po ( x0,y0, z0), 通过直线的方程求得，
x0 = f(y0),
z0 = g(y0),
2. 点 Po 绕 y 轴回转的曲线方程为
X^2 + Z^2 = ( x0 )^2 + (z0)^2 = [f(y0)]^2 + [g(y0)]^2
Y = y0
3， 由于 y0 的任意性，有
X^2 + Z^2 = ( x )^2 + (z)^2 = [f(y)]^2 + [g(y)]^2
Y ＝ y
4. 所求的回转面方程为：
x^2 + z^2 = [f(y)]^2 + [g(y)]^2

Answer 4

这里只提供绕z轴旋转所得旋转面方程

其他情形类似，故不再赘述

Answer 5

1. 对于直线上的某一个点 Po ( x0,y0, z0), 通过直线的方程求得，
x0 = f(y0),
z0 = g(y0),
2. 点 Po 绕 y 轴回转的曲线方程为
X^2 + Z^2 = ( x0 )^2 + (z0)^2 = [f(y0)]^2 + [g(y0)]^2
Y = y0
3， 由于 y0 的任意性，有
X^2 + Z^2 = ( x )^2 + (z)^2 = [f(y)]^2 + [g(y)]^2
Y ＝ y
4. 所求的回转面方程为：
x^2 + z^2 = [f(y)]^2 + [g(y)]^2