证明1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!=0当n为奇数时有唯一实根，当n为偶数时没有实根 O(∩_∩)O谢谢

Question

如题所述

Answer 1

我们记f_n (x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!（这里的_是下标）。（-）inf表示（负）无穷。
显然0对于任意n不会是f_n (x)=0的解。
当k=0,1的时候显然成立。
当k=n时结论成立。
对于k=n+1：
如果n+1是奇数，且f_(n+1) (-inf)=-inf，f_(n+1) (+inf)=+inf，且f_(n+1) (x) 的导数为f_n (x)，由归纳假设f_n (x)没有实数根， f’_(n+1) (x)>0 ，所以由此f_(n+1) (x) 单调，所以它只有一根。
如果n+1是偶数，同样对f_(n+1) (x) 求导，f_(n+1) (x) 的导数为f_n (x)，由归纳假设此时f_n (x)有一个根m，那么
f_(n+1) (x) 先递减再递增。f_(n+1) (m) =m^(n+1)/(n+1)! +f_n (m) =m^(n+1)/(n+1)!>0（
这里m是非零，n+1为偶数）,所以f_(n+1) (x)大于零恒成立。所以结论仍然成立。
综上：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!=0当n为奇数时有唯一实根，当n为偶数时没有实根。

Answer 2

证明：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!=0
1. 当n=1时：1+x=0
x=-1
2.假设当n=2k+1时（k>-1且k为整数），只有唯一的实根 x=-1。
3.当n=2k+3时，1+x+x2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!=0

Answer 3

估计悬赏5分没人领， 但愿我估计错误。 ^_^

Answer 4

神经病！怎么难的题才5分，至少都要1000分