2011年普通高等等学校招生全国统一模拟考试(湖南卷)
数学（理工农医类）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若 a＜0， ＞1，则 (D)
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
2．对于非0向时a,b,“a//b”的确良 （A）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．将函数y=sinx的图象向左平移 0 ＜2 的单位后，得到函数y=sin 的图象，则 等于 （D）
A． B． C. D.
4．如图1，当参数 时，连续函数 的图像分别对应曲线 和 , 则 [ B]
A B
C D
5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m [ C]
A 85 B 56 C 49 D 28
6. 已知D是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域D内
的弧长为 [ B]
A B C D
7．正方体ABCD— 的棱上到异面直线AB，C 的距离相等的点的个数为（C）
A．2 B．3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8.设函数 在（ ，+ ）内有定义。对于给定的正数K，定义函数
取函数 = 。若对任意的 ，恒有 = ，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．K的最大值为2 B. K的最小值为2
C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
10．在 的展开式中， 的系数为___7__(用数字作答)
11、若x∈(0, )则2tanx+tan( -x)的最小值为2 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为
13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中的个数数位 50 。
14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；
（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3
15、将正⊿ABC分割成 （ ≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在 ，已知 ，求角A，B，C的大小。
解：设
由 得 ，所以
又 因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由 得 ，于是
所以 ， ，因此
，既
由A= 知 ，所以 ， ，从而
或 ，既 或 故
或 。
17.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记 为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 , , ，i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立， , , （i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（ ）=，P（ ）= ，P（ ）=
（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P（ ）=6P（ ）P（ ）P（ ）=6 =
(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（3， ），且 =3 。
所以P（ =0）=P（ =3）= = ，
P（ =1）=P（ =2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P（ =2）=P（ =1）= =
P（ =3）=P（ =0）= =
故 的分布是
0 1 2 3
P
的数学期望E =0 +1 +2 +3 =2
解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 ，
i=1,2,3 ，由此已知， •D， 相互独立，且
P（ ）-（ ， ）= P（ ）+P（ ）= + =
所以 -- ,既 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故 的分布列是
1 2 3
18.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱 中，
D是 的中点，点E在 上，且 。
（I） 证明平面 平面
（II） 求直线 和平面 所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解 （I） 如图所示，由正三棱柱 的性质知 平面
又DE 平面A B C ，所以DE AA .
而DE AE。AA AE=A 所以DE 平面AC C A ，又DE 平面ADE，故平面ADE 平面AC C A 。
（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A B C 的性质及D是A B的中点知A B C D， A B DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又C D DF=D，所以A B 平面C DF，
而AB∥A B，所以
AB 平面C DF，又AB 平面ABC，故
平面AB C 平面C DF。
过点D做DH垂直C F于点H，则DH 平面AB C 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
连接AH，则 HAD是AD和平面ABC 所成的角。
由已知AB= A A ，不妨设A A = ，则AB=2，DF= ，D C = ，
C F= ，AD= = ，DH= = — ，
所以 sin HAD= = 。
即直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 。
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A = ，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)， B（ ，0，0）， C （0，1， ）， D（ ，- ， ）。
易知 =( ，1，0)， =(0，2， )， =( ，- ， ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设平面ABC 的法向量为n=（x，y，z）,则有
解得x=- y， z=- ，
故可取n=(1，- ， )。
所以， (n• )= = = 。
由此即知，直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为 。
19.（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 万元。
（Ⅰ）试写出 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）当 =640米时，需新建多少个桥墩才能使 最小？
解 （Ⅰ）设需要新建 个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令 ，得 ，所以 =64
当0< <64时 <0， 在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 时， >0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以 在 =64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使 最小。
20（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 3︳x-2︳
由题设
当x>2时，由①得
化简得
当 时 由①得
化简得
故点P的轨迹C是椭圆 在直线x=2的右侧部分与抛物线 在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与 ， 的交点都是A（2， ），
B（2， ），直线AF，BF的斜率分别为 = ， = .
当点P在 上时，由②知
. ④
当点P在 上时，由③知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为
（i）当k≤ ，或k≥ ，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（ ， ），N（ ， ）都在C 上，此时由④知
∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( + )
由 得 则 ， 是这个方程的两根，所以 + = *∣MN∣=12 - （ + ）=12 -
因为当
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当且仅当 时，等号成立。
（2）当 时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在 上，不妨设点 在 上，点 上，则④⑤知，
设直线AF与椭圆 的另一交点为E
所以 。而点A，E都在 上，且
有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若直线 的斜率不存在，则 = =3，此时
综上所述，线段MN长度的最大值为
21.（本小题满分13分）
对于数列 若存在常数M＞0,对任意的 ，恒有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则称数列 为B-数列
（1） 首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2） 设 是数列 的前 项和，给出下列两组论断；
A组：①数列 是B-数列 ②数列 不是B-数列
B组：③数列 是B-数列 ④数列 不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3） 若数列 都是 数列，证明：数列 也是 数列。
解（1）设满足题设的等比数列为 ,则 ，于是
因此｜ - ｜+｜ - ｜+…+｜ - ｜=
因为 所以 即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故首项为1，公比为 的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列
次命题为假命题。
事实上，设 ，易知数列 是B-数列，但
由 的任意性知，数列 是B-数列此命题为。
命题2：若数列 是B-数列，则数列 是B-数列
此命题为真命题
事实上，因为数列 是B-数列，所以存在正数M，对任意的 有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即 。于是
所以数列 是B-数列。
（III）若数列 { }是 数列，则存在正数 ，对任意的 有
注意到
同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
记 ，则有
因此
+
故数列 是 数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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