解析几何的诞生
欧氏几何是一种度量几何，研究的是与长度和角度有关的量的学科。它的方法是综合的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地。
解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑。它的创始人是17世纪的法国数学家笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，缺乏直观，无益于发展思想的艺术。同时，他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中的精华结合起来，取长补短，一门新的学科——解析几何诞生了。
解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学，从而把空间的论证推进到可以进行计算的数量层面。对空间的几何结构代数化，用一个基本几何量和它的运算来描述空间的结构，这个基本几何量就是向量，基本运算是指向量的加、减、数乘、内积和外积。向量的运算就是基本几何性质的代数化。
将几何对象数量化需要一座桥，那就是“坐标”。在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这座桥，在平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系。每一对实数(x,y)都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标(x,y)。以这种方式可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
借助坐标来确定点的位置的思想古来有之，古希腊的阿波罗尼奥斯（ApolloniusofPerga,约公元前262~190）关于圆锥曲线性质的推导；阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵着这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(N.Oreseme,1323?-1382)，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至接触到函数的图像表示，在此，他借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线，相当于横坐标和纵坐标。
到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切地需要一种新的数学工具，导致了变量数学即近代数学的诞生。笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作《更好地指导推理与寻求科学真理的方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《折光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。
笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——帕普斯问题：
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