二重积分，极坐标转换的问题，帮帮大一初学者

Question

这道题，关于R和角度θ的条件是怎么得到的？我令X=Rcosθ+1，Y=rsinθ+1带入后就得到了r小于2，关于r小于2（sinθ+cosθ）不知道啊！！！求大神帮助

Answer 1

不管方程的形式如何，极坐标变换永远是x=rcosθ，y=rsinθ，所以你代入的是不对的。把(x-1)^2+(y-1)^2≤2展开，得x^2+y^2-2(x+y)+2≤2，由于x^2+y^2=r^2，所以r^2-2r(cosθ+sinθ)≤0，由于r≥0，因此r≤2(cosθ+sinθ)。追问

哦，原来如此，但是为什么只能这样呢？x=rcosθ，y=rsinθ

追答

极坐标和直角坐标一样，也是用一对有序数来描述平面上一点，一个点既可以用直角坐标表示又可以用极坐标表示，因此这两种坐标之间就有一个坐标变换的表达式。画图可以看出，一条从原点出发的射线，如果长度为r，与x轴夹角为θ，那么它在x轴上投影长度为rcosθ，在y轴上投影长度为rsinθ，这就是其直角坐标。你说的那样求出来的是圆的参数方程。