一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f' = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f'左 > 0,f'右 < 0,则为极大值。若 f'左 < 0,f'右 > 0,则为极小值。
在数学分析中,函数的最大值和最小值(最大值和最小值)被统称为极值(极数),是给定范围内的函数的最大值和最小值(本地 或相对极值)或函数的整个定义域(全局或绝对极值)。皮埃尔·费马特(Pierre de Fermat)是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。
如集合理论中定义的,集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集,如实数集合,没有最小值或最大值。
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大(小),它就是一个严格极大(小)。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
一个函数能够取到极值(最大值或最小值)的充要条件是它在该极值点处的导数为零或不存在。
充分条件:
如果一个函数在某个点处的导数为零或不存在,那么这个点就是函数的潜在极值点。也就是说,函数可能在该点处取得极值,但并不保证一定会取得极值。
必要条件:
如果一个函数在某个点处取得极值,那么在该点处的导数必定为零或不存在。这意味着函数在极值点的导数为零或不存在是取得极值的必要条件。
需要注意的是,虽然导数为零或不存在是函数取得极值的必要条件,但并不是充分条件。在函数的极值点处,导数为零或不存在,但函数也可能取得其他类型的极值,如拐点。
综上所述,函数在某个点处的导数为零或不存在是函数取得极值的必要条件,但并不是充分条件。要确定函数是否在某个点处取得极值,还需要进一步的分析,例如使用二阶导数测试或边界条件来判断。
一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f' = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f'左 > 0,f'右 < 0,则为极大值。若 f'左 < 0,f'右 > 0,则为极小值。
在数学分析中,函数的最大值和最小值(最大值和最小值)被统称为极值(极数),是给定范围内的函数的最大值和最小值(本地 或相对极值)或函数的整个定义域(全局或绝对极值)。皮埃尔·费马特(Pierre de Fermat)是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。
如集合理论中定义的,集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集,如实数集合,没有最小值或最大值。
极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大(小),它就是一个严格极大(小)。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。