问一道二重积分极坐标的问题

Question

问一道二重积分极坐标的问题图中例11，为什么外层积分角度θ的积分限是
(–pi/2)到pi/2，从图上看这个积分限并不能容括整个面积啊

Answer 1

图上画的清清楚楚，那个向量是从原点出发的，
当指向 y 轴负半轴时，向量与 x 轴正向夹角是 -兀/2，此时向量与圆相切，
正向旋转（逆时针）时，夹角增大，向量指向圆周上 2cosθ，
当向量指向 y 轴正半轴时，向量与 x 轴正向夹角为 兀/2 。
这正好涵盖整个圆 。