116å®çãä¸æ¡å¼§æ对çåå¨è§çäºå®æ对çåå¿è§çä¸åãã117æ¨è®º1ãå弧æç弧æ对çåå¨è§ç¸çï¼ååæçåä¸,ç¸ççåå¨è§æ对ç弧ä¹ç¸çãã118æ¨è®º2ãååï¼æç´å¾ï¼æ对çåå¨è§æ¯ç´è§ï¼90°çåå¨è§æã对ç弦æ¯ç´å¾ãã119æ¨è®º3ãå¦æä¸è§å½¢ä¸è¾¹ä¸çä¸çº¿çäºè¿è¾¹çä¸å,é£ä¹è¿ä¸ªä¸è§å½¢æ¯ç´è§ä¸è§å½¢ãã120å®çãåçå
æ¥å边形ç对è§äºè¡¥,并ä¸ä»»ä½ä¸ä¸ªå¤è§é½çäºå®çå
对è§ãã121â ç´çº¿låâoç¸äº¤ãdï¼rããâ¡ç´çº¿låâoç¸åãd=rãâ¢ç´çº¿låâoç¸ç¦»ãdï¼rãã122å线çå¤å®å®çãç»è¿åå¾çå¤ç«¯å¹¶ä¸åç´äºè¿æ¡åå¾çç´çº¿æ¯åçå线ãã123å线çæ§è´¨å®çãåçå线åç´äºç»è¿åç¹çåå¾ãã124æ¨è®º1ãç»è¿åå¿ä¸åç´äºå线çç´çº¿å¿
ç»è¿åç¹ãã125æ¨è®º2ãç»è¿åç¹ä¸åç´äºå线çç´çº¿å¿
ç»è¿åå¿ãã126å线é¿å®çãä»åå¤ä¸ç¹å¼åç两æ¡å线,å®ä»¬çå线é¿ç¸ç,åå¿åè¿ä¸ç¹çè¿çº¿å¹³å两æ¡å线ç夹è§ãã127åçå¤åå边形ç两ç»å¯¹è¾¹çåç¸çãã128弦åè§å®çã弦åè§çäºå®æ夹ç弧对çåå¨è§ãã129æ¨è®ºãå¦æ两个弦åè§æ夹ç弧ç¸ç,é£ä¹è¿ä¸¤ä¸ªå¼¦åè§ä¹ç¸çãã130ç¸äº¤å¼¦å®çãåå
ç两æ¡ç¸äº¤å¼¦,被交ç¹åæç两æ¡çº¿æ®µé¿ç积ç¸çãã131æ¨è®ºãå¦æ弦ä¸ç´å¾åç´ç¸äº¤,é£ä¹å¼¦çä¸åæ¯å®åç´å¾ææçãã两æ¡çº¿æ®µçæ¯ä¾ä¸é¡¹ãã132åå²çº¿å®çãä»åå¤ä¸ç¹å¼åçå线åå²çº¿,å线é¿æ¯è¿ç¹å°å²ãã线ä¸å交ç¹ç两æ¡çº¿æ®µé¿çæ¯ä¾ä¸é¡¹ãã133æ¨è®ºãä»åå¤ä¸ç¹å¼åç两æ¡å²çº¿,è¿ä¸ç¹å°æ¯æ¡å²çº¿ä¸åç交ç¹ç两æ¡çº¿æ®µé¿ç积ç¸çãã134å¦æ两个åç¸å,é£ä¹åç¹ä¸å®å¨è¿å¿çº¿ä¸ãã135â 两åå¤ç¦»ãdï¼r+rãâ¡ä¸¤åå¤åãd=r+rããâ¢ä¸¤åç¸äº¤ãr-rï¼dï¼r+r(rï¼r)ããâ£ä¸¤åå
åãd=r-r(rï¼r)ãâ¤ä¸¤åå
å«dï¼r-r(rï¼r)ãã136å®çãç¸äº¤ä¸¤åçè¿å¿çº¿åç´å¹³å两åçå
Œ
±å¼¦ãã137å®çãæååæn(nâ¥3):ããâ´ä¾æ¬¡è¿ç»ååç¹æå¾çå¤è¾¹å½¢æ¯è¿ä¸ªåçå
æ¥æ£n边形ããâµç»è¿ååç¹ä½åçå线,以ç¸é»å线ç交ç¹ä¸ºé¡¶ç¹çå¤è¾¹å½¢æ¯è¿ä¸ªåçå¤åæ£n边形ãã138å®çä»»ä½æ£å¤è¾¹å½¢é½æä¸ä¸ªå¤æ¥ååä¸ä¸ªå
åå,è¿ä¸¤ä¸ªåæ¯åå¿åãã139æ£n边形çæ¯ä¸ªå
è§é½çäºï¼n-2ï¼Ã180°ï¼nãã140å®çãæ£n边形çåå¾åè¾¹å¿è·ææ£n边形åæ2n个å
¨ççç´è§ä¸è§å½¢ãã141æ£n边形çé¢ç§¯sn=pnrnï¼2ãp表示æ£n边形çå¨é¿ãã142æ£ä¸è§å½¢é¢ç§¯â3aï¼4ãa表示边é¿ãã143å¦æå¨ä¸ä¸ªé¡¶ç¹å¨å´æk个æ£n边形çè§,ç±äºè¿äºè§çååºä¸ºãã360°,å æ¤kÃ(n-2)180°ï¼n=360°å为ï¼n-2ï¼(k-2)=4144弧é¿è®¡ç®å
¬å¼ï¼l=nÏrï¼180ãã145æå½¢é¢ç§¯å
¬å¼ï¼sæå½¢=nÏr2ï¼360=lrï¼2ãã146å
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¬å线é¿=ãd-(r-r)ãå¤å
¬å线é¿=ãd-(r+r)ãã147çè
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³çå½é¢,æå¦ä¸æ¥éª¤ï¼ãï¼1ï¼è¯æå½nå第ä¸ä¸ªå¼æ¶å½é¢æç«ï¼ãï¼2ï¼å设å½n=kï¼kâ¥nç第ä¸ä¸ªå¼,k为èªç¶æ°ï¼æ¶å½é¢æç«,è¯æå½n=k+1æ¯å½é¢ä¹æç«.ãé¶ä¹ï¼ãn!=1Ã2Ã3Ãâ¦â¦Ãn,ï¼n为ä¸å°äº0çæ´æ°ï¼ãè§å®0!=1.ãæå,ç»åã·æåãä»n个ä¸åå
ç´ ä¸åm个å
ç´ çæææå个æ°,ãAï¼n,mï¼=ãn!/m!ãï¼mæ¯ä¸æ ,næ¯ä¸æ ,é½æ¯ä¸å°äº0çæ´æ°,ä¸mâ¤nï¼ã··ç»åãä»n个ä¸åçå
ç´ é,æ¯æ¬¡ååºm个å
ç´ ,ä¸ç®¡ä»¥ææ ·ç顺åºå¹¶æä¸ç»,å称为ç»å.ææä¸åç»åçç§æ°ãCï¼n,mï¼=ãAï¼n,mï¼/ï¼nï¼mï¼!=n!/ãm!·ï¼nï¼mï¼!ããï¼mæ¯ä¸æ ,næ¯ä¸æ ,é½æ¯ä¸å°äº0çæ´æ°,ä¸mâ¤nï¼ãâç»åæ°çæ§è´¨ï¼ãC(n,k)ã=ãC(n,k-1)ã+ãC(n-1,k-1);ã对ç»åæ°C(n,k),å°n,kåå«å为äºè¿å¶,è¥æäºè¿å¶ä½å¯¹åºçn为0,èk为1ã,åC(n,k)为å¶æ°ï¼å¦å为å¥æ°ãâäºé¡¹å¼å®çï¼binomialãtheoremï¼ã(a+b)^n=C(n,0)Ãa^nÃb^0+C(n,1)Ãa^(n-1)Ãb+C(n,2)Ãa^(n-2)Ãb^2+...+C(n,n)Ãa^0Ãb^nãæ以,æãC(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)ã=C(n,0)Ã1^n+C(n,1)Ã1^(n-1)Ã1+C(n,2)Ã1^(n-2)Ã1^2+...+C(n,n)Ã1^nã=ï¼1+1ï¼^nãã=ã2^nã微积åå¦ããæéçå®ä¹:ã设å½æ°f(x)å¨ç¹x.çæä¸å»å¿é»åå
æå®ä¹,å¦æåå¨å¸¸æ°A,对äºä»»æç»å®çæ£æ°Îµï¼æ 论å®å¤ä¹å°ï¼,æ»åå¨æ£æ°Î´ã,使å¾å½x满足ä¸çå¼0<|x-x.|<δãæ¶,对åºçå½æ°å¼f(x)é½æ»¡è¶³ä¸çå¼ï¼ãã|f(x)-A|<εããé£ä¹å¸¸æ°Aå°±å«åå½æ°f(x)å½xâx.æ¶çæéãå 个常ç¨æ°åçæéï¼ãan=cã常æ°åãæé为cãan=1/nãæé为0ãan=x^nãç»å¯¹å¼xå°äº1ãæé为0ã导æ°ï¼ãå®ä¹ï¼f'(x)=y'=limâ¿xâ0[f(x+â¿x)-f(x)]/â¿x=dy/dxãå ç§å¸¸è§å½æ°ç导æ°å
¬å¼ï¼ããâ ãC'=0(C为常æ°å½æ°)ï¼ãâ¡ã(x^n)'=ãnx^(n-1)ã(nâQ)ï¼ããâ¢ã(sinx)'ã=ãcosxï¼ãâ£ã(cosx)'ã=ã-ãsinxï¼ãâ¤ã(e^x)'ã=ãe^xï¼ãâ¥ã(a^x)'ã=ã(a^x)ã*ãInaãï¼ln为èªç¶å¯¹æ°ï¼ãâ¦ã(Inx)'ã=ã1/xï¼ln为èªç¶å¯¹æ°ï¼ãâ§ã(logãaãx)'=1/(xlna)ã,(a>0ä¸aä¸çäº1)ãâ¨(sinh(x))'=cosh(x)ãâ©(cosh(x))'=sinh(x)ã(tanh(x))'=sech^2(x)ã(coth(x))'=-csch^2(x)ã(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)ã(csch(x))'=-csch(x)coth(x)ã(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)ã(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)ã(x>1)ã(arctanh(x))'=1/(1-x^2)ã(|x|<1)ã(arccoth(x))'=1/(1-x^2)ã(|x|>1)ã(chx)â=shx,ãï¼shxï¼'=chx:ãï¼3ï¼å¯¼æ°çååè¿ç®æ³åï¼ããâ (u±v)'=u'±v'ããâ¡(uv)'=u'v+uv'ããâ¢(u/v)'=(u'v-uv')/ãv^2ãï¼4ï¼å¤åå½æ°ç导æ°ããå¤åå½æ°å¯¹èªåéç导æ°,çäºå·²ç¥å½æ°å¯¹ä¸é´åéç导æ°,ä¹ä»¥ä¸é´åé对èªåéç导æ°ï¼é¾å¼æ³åï¼ï¼ãdãf[uï¼xï¼]/dx=ï¼dãf/duï¼*ï¼du/dxï¼.ã[â«ï¼ä¸éhï¼xï¼,ä¸égï¼xï¼ï¼ãfï¼xï¼dx]â=f[hï¼xï¼]·h'ï¼xï¼-ãf[gï¼xï¼]·g'ï¼xï¼ãæ´å¿
è¾¾æ³å(L'Hospital)ï¼ãæ¯å¨ä¸å®æ¡ä»¶ä¸éè¿åååæ¯åå«æ±å¯¼åæ±æéæ¥ç¡®å®æªå®å¼å¼çæ¹æ³.ã设ã(1)å½xâaæ¶,å½æ°f(x)åF(x)é½è¶äºé¶ï¼ã(2)å¨ç¹açå»å¿é»åå
,f'(x)åF'(x)é½åå¨ä¸F'(x)â 0ï¼ã(3)å½xâaæ¶limãf'(x)/F'(x)åå¨(æ为æ 穷大),é£ä¹ãxâaæ¶ãlimãf(x)/F(x)=limãf'(x)/F'(x).ãå设ã(1)å½xââæ¶,å½æ°f(x)åF(x)é½è¶äºé¶ï¼ã(2)å½|x|>Næ¶f'(x)åF'(x)é½åå¨,ä¸F'(x)â 0ï¼ã(3)å½xââæ¶limãf'(x)/F'(x)åå¨(æ为æ 穷大),é£ä¹ãxââæ¶ãlimãf(x)/F(x)=limãf'(x)/F'(x).ããå©ç¨æ´å¿
è¾¾æ³åæ±æªå®å¼çæéæ¯å¾®åå¦ä¸çéç¹ä¹ä¸,å¨è§£é¢ä¸åºæ³¨æï¼ãâ å¨çææ±æé以å,é¦å
è¦æ£æ¥æ¯å¦æ»¡è¶³0/0æâ/âå,å¦å滥ç¨æ´å¿
è¾¾æ³åä¼åºé.å½ä¸åå¨æ¶ï¼ä¸å
æ¬âæ
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è¾¾æ³å失æ,åºä»å¦å¤éå¾æ±æé.æ¯å¦å©ç¨æ³°åå
¬å¼æ±è§£.ãâ¡æ´å¿
è¾¾æ³åå¯è¿ç»å¤æ¬¡ä½¿ç¨,ç´å°æ±åºæé为æ¢.ãâ¢æ´å¿
è¾¾æ³åæ¯æ±æªå®å¼æéçææå·¥å
·,ä½æ¯å¦æä»
ç¨æ´å¿
è¾¾æ³å,å¾å¾è®¡ç®ä¼ååç¹ç,å æ¤ä¸å®è¦ä¸å
¶ä»æ¹æ³ç¸ç»å,æ¯å¦åæ¶å°éé¶æéçä¹ç§¯å åå离åºæ¥ä»¥ç®å计ç®ãä¹ç§¯å åç¨çä»·éæ¿æ¢ç.ãä¸å®ç§¯åã设F(x)æ¯å½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°,æ们æå½æ°f(x)çææåå½æ°F(x)+Cï¼C为任æ常æ°ï¼å«åå½æ°f(x)çä¸å®ç§¯å.ãè®°ä½â«f(x)dx.ãå
¶ä¸â«å«å积åå·,f(x)å«å被积å½æ°,xå«å积ååé,f(x)dxå«å被积å¼,Cå«å积å常æ°,æ±å·²ç¥å½æ°çä¸å®ç§¯åçè¿ç¨å«å对è¿ä¸ªå½æ°è¿è¡ç§¯å.ãç±å®ä¹å¯ç¥ï¼ãæ±å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯å,å°±æ¯è¦æ±åºf(x)çææçåå½æ°,ç±åå½æ°çæ§è´¨å¯ç¥,åªè¦æ±åºå½æ°f(x)çä¸ä¸ªåå½æ°,åå ä¸ä»»æç常æ°C,å°±å¾å°å½æ°f(x)çä¸å®ç§¯å.ãä¹å¯ä»¥è¡¨è¿°æ,积åæ¯å¾®åçéè¿ç®,å³ç¥éäºå¯¼å½æ°,æ±åå½æ°.ã·åºæ¬å
¬å¼:ã1ï¼â«0dx=c;ããâ«aãdx=ax+c;ã2ï¼â«x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;ã3ï¼â«1/xdx=ln|x|+cã4)ï¼â«a^xdx=(a^x)/lna+cã5ï¼â«e^xdx=e^x+cã6ï¼â«sinxdx=-cosx+cã7ï¼â«cosxdx=sinx+cã8ï¼â«1/(cosx)^2dx=tanx+cã9ï¼â«1/(sinx)^2dx=-cotx+cã10ï¼â«1/âï¼1-x^2)ãdx=arcsinx+cã11ï¼â«1/(1+x^2)dx=arctanx+cã12ï¼â«1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;ã13ï¼â«secxdx=ln|secx+tanx|+cã14ï¼â«1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+cã15ï¼â«1/â(a^2-x^2)ãdx=arcsin(x/a)+c;ã16)ãâ«sec^2ãxãdx=tanx+c;ã17)ãâ«shxãdx=chx+c;ã18)ãâ«chxãdx=shx+c;ã19)ãâ«thxãdx=ln(chx)+c;ã·åé¨ç§¯åæ³:ãâ«u(x)·v'(x)ãdx=â«u(x)ãdãv(x)=u(x)·v(x)ã-â«v(x)ãdãu(x)=u(x)·v(x)ã-â«u'(x)·v(x)ãdx.ãâæ³°åå
¬å¼(Taylor'sãformula)ãæ³°åä¸å¼å®çï¼è¥f(x)å¨å¼åºé´ï¼a,bï¼æç´å°n+1é¶ç导æ°,åå½å½æ°å¨æ¤åºé´å
æ¶,å¯ä»¥å±å¼ä¸ºä¸ä¸ªå
³äºï¼x-x0)å¤é¡¹å¼åä¸ä¸ªä½é¡¹çåï¼ãf(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+â¦â¦+fçné¶å¯¼æ°?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rnãå
¶ä¸Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为ææ ¼ææ¥åçä½é¡¹,è¿éξå¨xåx0ä¹é´.ãå®ç§¯åãå½¢å¼ä¸ºâ«f(x)ãdxã(ä¸éaåå¨â«ä¸é¢,ä¸ébåå¨â«ä¸é¢).ä¹æ以称å
¶ä¸ºå®ç§¯å,æ¯å 为å®ç§¯ååå¾åºçå¼æ¯ç¡®å®ç,æ¯ä¸ä¸ªæ°,èä¸æ¯ä¸ä¸ªå½æ°.ãçé¡¿-è±å¸å°¼å
¹å
¬å¼ï¼è¥F'(x)=f(x),é£ä¹â«f(x)ãdxã(ä¸éaä¸éb)=F(a)-F(b)ãçé¡¿-è±å¸å°¼å
¹å
¬å¼ç¨æå表述,å°±æ¯è¯´ä¸ä¸ªå®ç§¯åå¼çå¼,å°±æ¯ä¸éå¨åå½æ°çå¼ä¸ä¸éå¨åå½æ°çå¼çå·®.ãå¾®åæ¹ç¨ãå¡æ¯è¡¨ç¤ºæªç¥å½æ°ç导æ°ä»¥åèªåéä¹é´çå
³ç³»çæ¹ç¨,å°±å«åå¾®åæ¹ç¨.ãå¾®åæ¹ç¨å·®ä¸å¤æ¯å微积ååæ¶å
å产çç,èæ ¼å
°æ°å¦å®¶èæ®å°åç«å¯¹æ°çæ¶å,就讨论è¿å¾®åæ¹ç¨çè¿ä¼¼è§£.çé¡¿å¨å»ºç«å¾®ç§¯åçåæ¶,对ç®åãçå¾®åæ¹ç¨ç¨çº§æ°æ¥æ±è§£.åæ¥ç士æ°å¦å®¶é
åå¸?è´åªå©ã欧æãæ³å½æ°å¦å®¶å
é·æ´ãè¾¾æè´å°ãææ ¼ææ¥ç人åä¸æå°ç 究å丰å¯äºå¾®åæ¹ç¨çç论.ãå¦æå¨ä¸ä¸ªå¾®åæ¹ç¨ä¸åºç°çæªç¥å½æ°åªå«ä¸ä¸ªèªåé,è¿ä¸ªæ¹ç¨å°±å«å常微åæ¹ç¨ãç¹å¾æ ¹æ³æ¯è§£å¸¸ç³»æ°é½æ¬¡çº¿æ§å¾®åæ¹ç¨çä¸ç§éç¨æ¹æ³.ãå¦ãäºé¶å¸¸ç³»æ°é½æ¬¡çº¿æ§å¾®åæ¹ç¨y''+py'+qy=0çé解:ã设ç¹å¾æ¹ç¨r*r+p*r+q=0ä¸¤æ ¹ä¸ºr1,r2.ã1ãè¥å®æ ¹r1ä¸çäºr2ãy=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).ã2ãè¥å®æ ¹r=r1=r2ãy=(C1+C2x)*e^(rx)ã3ãè¥æä¸å¯¹å
±è½å¤æ ¹ãr1,ã2=λ±ibãï¼ãy=e^ï¼Î»xï¼Â·[C1·cosï¼bxï¼+ãC2·sinï¼bxï¼]
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