线性代数问题

Question

六、（12分）设3阶实对称矩阵a的特征值 ，入1=1，入2=2，入3= -2，a1=（1，-1，1）是a的属于入1的一个特征向量.记b=a^5-4*a^3+e ，其中e为3阶单位矩阵.
（I）验证a1是矩阵b的特征向量，并求b的全部特征值与特征向量；
（II）求矩阵b.
我会直接根据已知把矩阵b求出来，可是按照问法的思路应该怎么求啊，求高手，我实在想不出了
因为实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的，所以B的属于特征值1的特征向量是方程组x1-x2+x3＝0的解
这一步求解，不太懂~~谢谢

Answer 1

设f(x)＝x^5-4x^3+1，则B＝f(A)，若λ是A的特征值，对应的特征向量是a，则f(λ)是B的特征值，a是对应的特征向量。
1、因为A(a1)＝a1，所以B(a1)＝f(1)a1＝-2(a1)，所以a1＝(1,-1,1)' 是B对应于特征值-2的特征向量。
B的特征值是f(1)＝-2，f(2)＝1，f(-2)＝1
因为实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的，所以B的属于特征值1的特征向量是方程组x1-x2+x3＝0的解，取方程组的基础解系a2＝(1,0,-1)'，a3＝(1,2,1)'（这里有一个小技巧，就是适当选择基础解系，使得它们与a1构成正交向量组，方便接下来求矩阵B）
所以矩阵B的特征值是-2,1,1，对应于-2的特征向量是ka1＝k(1,-1,1)'，对应于特征值1的特征向量是k1(1,0,-1)'+k2(1,2,1)'，k、k1、k2是任意实数。
2、把a1,a2,a3单位化一下，得b1=(1,-1,1)'/√3，b2=(1,0,-1)'/√2，b3=(1,2,1)'/√6，设矩阵P＝(b1,b2,b3)，则P是正交矩阵，BP＝PC，其中C是对角矩阵diag(-2,1,1)。所以B＝PCP'＝
0 1 -1
1 0 1
-1 1 0

Answer 2

kkdch，你好：
（1）由a1是原实对称矩阵的属入λ1的特征向量知Aa1=λ1a1,B=A^5-4A^3+E,故Ba1=A^4*Aa1-A^2*Aa1+Ea1=A^4*λ1a1-A^2*λ1a1+a1=----=λ1^4*Aa1-λ1^2*Aa1+a1=(λ1^5-λ1^3+1)a1,故a1确为矩阵的属入特征值为λ1^5-λ1^3+1的特征向量，同理可证，a2,a3分别也为矩阵B属入λ2^5-λ2^3+1，λ31^5-λ3^3+1的特征向量。
（2）已经知道了矩阵B的全部特征值和特征向量，自然可以求出矩阵B，你会求，我就写简单点吧，方法如下：
以三个特征值为对角元素构造对角矩阵C，以相应的三个特征向量为列向量，构造矩阵P，则BC＝CP，所以B＝CPC^-1
希望我的回答对你有帮助，也预祝你学业精进！