数学题 需分类讨论

Question

操作：正方形ABCD的边长为4，P是直线CD上一动点，将三角形尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终通过点B，另一条直角边所在的直线与射线AD交于点E，设CP=x，DE=y。探究：
当点P在CD的延长线上时，求y关于x的函数关系式；
当DE＝1时，求点P的位置

Answer 1

1. ∠ BPC+∠BPE+∠EPD=∠CPD=180°，而∠BPE=90°，==>∠ BPC+∠EPD=90°==>∠PBC=∠EPD
==>Rt△BPC∽Rt△PED
当P在CD的延长线上时，易有PD是Rt△PEF斜边上的高，（F是PB和AD的交点）。故而∠BPC=∠DEP
==>Rt△BPC∽Rt△PED==>ED/PC=PD/BC==>y/x = (x-4)/4==>y = x(x-4)/4=x^2/4 - x ,(x>4).
2.当DE=1时，若点P在CD的延长线上，在有2的函数关系，y = x(x-4)/4，当y=1时，有x=2+2√2(另外一个根小于4，是增根，舍去)
若点P在CD上，根据1的结论，Rt△BPC∽Rt△PED==>DE/PC=DP/BC==>1/x=(4-x)/4
==>(x-2)^2=0==>x=2==>P是CD的中点。