概率论与数理统计题目

Question

设X，Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立。 证明：P{X<Y}=（从0到正无穷积分）FX(x)fY(x)dx,其中FX（x)是X的分布函数，fY(y)是Y的概率密度。求证明！在限速等！

Answer 1

1、

三位数一共有900个，其中3的倍数有300个，所以概率为1/3

2、判别式：d=a^2-4b

（1）一共有5*5种选取，其中12种函数有零点，概率是：12/25

（2）概率是：∫[0,4]x^2/4dx/16=1/3

3、

总共有C(10,4)=210种取法，

其中取到2双有C(5,2)=10种取法，

取到1双有C(5,1)(C(8,2)-C(4,1))=120种取法

所以概率为：13/21

1、

如果甲先到，则乙没碰上甲的时间有23小时，概率是：23/24

如果乙先到，则甲没碰上乙的时间有22小时，概率是：22/24

谁也不碰谁的概率是：0.5*23/24+0.5*22/24=22.5/24

2、

概率是：1-0.6*0.6/2=0.82

3、

概率是：2/3

4、

设平行线平行于x轴

三角形旋转角度为x时的垂直高度是f(x)

则三角形与平行线相交的概率是：

p=∫[0,π]f(x)dx/(dπ)

下面推导f(x)

设a是长边，c是短边

C在原点，B在(a,0)，A在x轴下面，则：

a的垂直高度是u(x)=|asinx|

b的垂直高度是v(x)=|bsin(x-C)|

c的垂直高度是w(x)=|csin(x+B)|

所以：f(x)=max(u(x),v(x),w(x))

是一个分段函数，具体如下：

当x∈[0,C]时f(x)=w(x)

当x∈[C,A+C]时f(x)=u(x)

当x∈[A+C,π]时f(x)=v(x)

于是

∫[0,π]f(x)dx=∫[0,C]w(x)dx+∫[C,A+C]u(x)dx∫[A+C,π]v(x)dx

=c(-cos(B+C)+cosB)+a(-cos(A+C)+cosC)+b(-cos(π-C)+cosA)

=c(cosA+cosB)+a(cosB+cosC)+b(cosC+cosA)

=(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC

三角形与平行线相交的概率是：

p=((b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC)/(dπ)

用余弦定理可以化简

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

代入得

p=(a+b+c)/(dπ)

当c=0时就是蒲丰投针：p=2a/d/π

Answer 2

用积分化简即可。

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