第1个回答 2019-02-16
分享一种解法。对∫(0,x)tf(x-t)dt，设x-t=s。∴∫(0,x)tf(x-t)dt=∫(0,x)(x-s)f(s)ds。
∴由题设条件，有∫(0,x)f(t)dt=x+x∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)tf(t)dt。
两边对x求导，有f(x)=1+∫(0,x)f(t)dt①。两边再对x求导，f'(x)=f(x)。此是f(x)的一阶微分方程。解得其通解为f(x)=Ce^x。其中C为常数。
又，由①可得，f(0)=1。∴C=1。∴f(x)=e^x。
供参考。追问
∴由题设条件，有∫(0,x)f(t)dt=x+x∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)tf(t)dt。
两边对x求导，有f(x)=1+∫(0,x)f(t)dt①。两边再对x求导，f'(x)=f(x)。此是f(x)的一阶微分方程。解得其通解为f(x)=Ce^x。其中C为常数。
又，由①可得，f(0)=1。∴C=1。∴f(x)=e^x。
供参考。追问
谢谢😜
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