如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10。p是AC上一点,且AP=2,圆O的圆心在线段BP

Question

在三角形ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10。p是AC上一点,且AP=2,圆O的圆心在线段BP上，且圆O与AB,AC分别相切于点Q,D。求圆O的半径和AQ长。

Answer 1

连接OA、OQ、OD。设圆O的半径为 R 。
则有：OQ⊥AC ，OD⊥AB ，OQ = OD 。

在Rt△OAQ和Rt△OAD中，OQ = OD ，OA为公共斜边，
所以，△OAQ ≌ △OAD ，可得：AQ = AD 。

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8 ，AB=10 ，由勾股定理可得：BC = 6 ，
而且，CP = AC-AP = 6 ，可得：△BCP是等腰直角三角形，BP = 6√2 。

因为，∠OQP=90°，∠OPQ=45°，
所以，△OPQ是等腰直角三角形，OQ = R ，OP = √2R 。

AD = AQ = AP+PQ = 2+R ；
在Rt△OBD中，OB = BP-OP = √2(6-R) ，BD = AB-AD = 6-R ，OD = R ，
由勾股定理可得：OB^2 = BD^2+OD^2 ，
解得：R = 1 ，AQ = 2+R = 3 。

Answer 2

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