微积分的简单应用

Question

我想要关于微积分应用的例子或应用题（含解答），大家帮帮忙！

Answer 1

1、微分在近似计算中的应用
要在半径r
=
1cm的铁球表面上镀一层厚度为0.1mm的铜，求所需铜的重量W(铜的密度ρ
=
8.9g/cm^3)(说明:cm^3后面的3是幂，也就是立方厘米，下面的r^3也是指r的3次方，依此类推)。
解：先求镀层的体积，再乘以密度，便得铜的质量。显然，镀层的体积就是两个球体体积之差。设球的体积为V，则
V
=
f(r)
=(4/3)πr^3
△r=0.01
△V≈f'(r)△r
=
f'(r)×0.01,
而f'(r)
=
[(4/3)πr^3]'
=
4πr^2
所以铜的体积约为△V
=
f'(1)×0.01
=
4π×0.01≈0.126(cm^3)
于是镀铜的质量约为△W
=
ρ△V≈0.126×8.9≈1.12(g)
2、定积分在物理学中的应用
根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比。已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm需力14000N，求弹簧压缩2cm时所作的功。
解：由题意，弹簧的弹力为f(x)
=
kx(k为比例常数），当x
=
0.01m时
f(0.01)
=
k×0.01
=
1.4×10^4N
由此知k
=
1.4×10^6,故弹力为f(x)
=
1.4×10^6x
于是，W
=
∫[上标0.02，下标0]（1.4×10^6x)dx
=
1.4×10^6×x^2/2|[上标0.02,下标0]
=
280(J),即弹簧压缩2cm时所作的功为280J。
参考资料：大学文科数学