一个数学结论的推导

Question

具体看图片吧，很多数学符号打不出来，只有这样

Answer 1

设角F1F2P=α F2F1P=β F1PF2=θ 则有离心率e=sin(α+β)/sinα + sinβ 焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)
证明方法一：
设F1P=c F2P=b 2a=c+b 由射影定理得2c=ccosβ+bcosα e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα/c+b 由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/sinβ+sinα=sin(α+β)/sinα + sinβ
证明方法二：
对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n 则m+n=2a 在△F1PF2中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ 即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以mn=2b^2/(1+cosθ) S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式) =b^2*sinθ/(1+cosθ) =b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2 =b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2) =b^2*tan(θ/2)

双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ, 则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) ·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=?×F1F2×h=?2√2×h=√3， h=√6/2