逆矩阵的定理有哪些 怎么证明?

Question

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Answer 1

逆矩阵　　设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：
　　AB=BA=I
　　则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵
　　逆矩阵的求法: A^(-1)=(1/|A|)×A* [A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵]
　　矩阵的另外一种常用的求法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)）[初等变化只用行运算，不能用列运算]
　　A是逆矩阵的充要条件是A的行列式不等于0
　　可逆矩阵一定是方阵
　　如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的
　　可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵。
　　两个可逆矩阵的乘积依然可逆
　　可逆矩阵的转置矩阵也可逆
　　一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的
　　矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

Answer 2

设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B使AB=BA=E，则称B是A的逆矩阵，并称A是可逆矩阵或称A为非奇异矩阵。 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的，不然，若B，C 都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E，AC=CA=E， B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. 通常将A的逆矩阵记作A-1。从定义可见，A也是B的逆矩阵。 因此，A、B是互为逆阵的。 不能将A-1写成 ，且矩阵没有除法， 与 都没有意义。 为研究一个方阵可逆的充要条件，首先给出伴随矩阵的定义。 定义2. 设Aij是矩阵A=[aij]n×n的行列式 中元素aij 的代数余子式，则称矩阵 为矩阵A的伴随矩阵，记作A* 或adjA。 注意A*中Aij与A中aij的行标与列标刚好换了一下。