向量的概念
既有方向又有大小的量叫做向量(物理学中叫做矢量),只有大小没有方向的量叫做数量(物理学中叫做标量)。
向量的几何表示
具有方向的线段叫做有向线段,以a为起点,b为终点的有向线段记作ab。(ab是印刷体,书写体是上面加个→)
有向线段ab的长度叫做向量的模,记作|ab|。
有向线段包含3个因素:起点、方向、长度。
长度等于0的向量叫做零向量,记作0。零向量的方向是任意的;长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
相等向量与共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a、b平行,记作a//b,零向量与任意向量平行,即0//a,平行向量也叫做共线向量。
向量的运算
加法运算
ab+bc=ac,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob,以oa、ob为邻边作平行四边形oacb,则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ
>
0时,λa的方向和a的方向相同,当λ
<
0时,λa的方向和a的方向相反,当λ
=
0时,λa
=
0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a
=
λ(μa)(2)(λ
+
μ)a
=
λa
+
μa(3)λ(a
±
b)
=
λa
±
λb(4)(-λ)a
=-(λa)
=
λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积或内积,记作ab,θ是a与b的夹角,|a|cos
θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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