概率统计，二维连续型随机变量，已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

Question

5.已知二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）请见下图：

第一题请列出怎么进行二重积分，我根本就算不出k，主要是取值范围不知道该怎么定，先算y还是先算x？请解释。
第二题请画出图，就是不懂怎么弄出二重积分！x、y的取值范围怎么定？
后面的题目也不太会...特别是（6）（7）题，所以请一定要详细写出来...！
本人基础较差，所以请详细作答，满意一定好评！
是第5题！
是第5题！
是第5题！
是第5题！
是第5题！
是第5题！
是第5题！
请不要写错了！

Answer 1

题不难，计算太复杂，给你个思路

(1) 1=∫(0,+∞)dx∫(x,+∞)ke^(-y)dy=k

(2)P(X+Y<=1)=∫(0,1/2)dx∫(x,1-x)e^(-y)dy

(3)fX(x)=∫(x,+∞)e^(-y)dy=e^(-x)  (x>0)

(4)fY(y)=∫(0,y)e^(-y)dx=ye^(-y)   (y>0)

f(x|y)=f(x,y)/fY(y)=1/y  (0<x<y)

(5)因f(x,y)≠fX(x)*fY(y)，所以不独立

(6)P(Y>=1/2|X>=1/2)=P(X>=1/2,Y>=1/2)/P(X>=1/2)

=∫(1/2,+∞)dx∫(x,+∞)e^(-y)dy/∫(1/2,+∞)e^(-x)dx

(7)f(y|x)=f(x,y)/fX(x)=e^(-y)/e^(-x)=e^[-(y-x)]    (0<x<y)

P(Y>=1/2|X=1/2)=∫(1/2,+∞)e^[-(y-1/2)]dy

追问

第一题我懂了，不过第二题的图为什么还要加一个y=x的线？为什么第三题是x到正无穷而不是到y？

追答

第二题因为f(x,y)中不为零部分为00时，y的取值从x到正无穷（从第一题图可看出）

追问

好，我大概理解了。可是第六题的取值我还是不懂。。。

x的取值为什么是1/2到正无穷，而不是到y？y的取值为什么是x到正无穷而不是1/2到正无穷？

x的取值为什么是1/2到正无穷，而不是1/2到y？y的取值为什么是x到正无穷而不是1/2到正无穷？

追答

重积分对x和y的积分顺序可互换，由图（6）知
∫(1/2,+∞)dx∫(x,+∞)f(x,y)dy
或∫(1/2,+∞)dy∫(1/2,y)f(x,y)dx都行

追问

最后一个问题，貌似空了两天有点忘记了，不过还是想请问一下第七题的X=1/2该放到哪里计算？

追答

用条件概率计算，X=x的条件下，Y的密度函数为
f(y|x)=f(x,y)/fX(x)