你好，我要向你求助，关于柯西不等式的几种形式

Question

如题所述

Answer 1

高中常用的有5种（其实都是原来柯西不等的推论）：（都以3个变量为例，n个变量的类似）：
(A^2+B^2+C^2)( a^2+b^2+c^2)>=(Aa+Bb+Cc)^2,当且仅当A/a=B/b=C/c时取等。
3( a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2,当且仅当a=b=c时成立.
(1/a^2+1/b^2+1/c^2)( a^2+b^2+c^2)>=3^2当且仅当a=b=c时成立..
(A^2/a+B^2/b+C^2/c)( a+b+c)>=(A+B+C)^2,这里要求a,b,c>0，当且仅当A/a=B/b=C/c时取等。
(1/a+1/b+1/c)( a+b+c)>=3^2，这里要求a,b,c>0，当且仅当a=b=c时成立.

Answer 2

Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。追问

可不可以再列举三四个，不常用的 也行