有关二维随机变量的联合密度计算

Question

老师说答案有点错误，我不知道错误在哪，而且我想知道x的取值范围为什么在0-R之间，y又为什么在0-2∏呢？救救孩子吧

Answer 1

[0, R]，[0, 2π]不是x和y的取值范围，而是r和θ的取值范围，这做了坐标转换，把直角坐标转成了极坐标。直角坐标系中的一个点(x, y)可以描述成极坐标系中的一个点(r, θ)，对应的y = r sinθ；x = r cosθ。所以原来的条件说的x^2 + y^2 <= R^2，也就等价于r <= R，且0<=θ<=2π。
这个总体思路是没有问题的，老师说的错误可能在具体的计算结果里面，这个你知道怎么算之后应该很容易验出来。

Answer 2

1.f(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=f(x,y)对y积分，下限x，上限无穷，结果fX(x)=e^(-x) 2.f(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=f(x,y)对x积分，下限0，上限y，结果fY(y)=ye^(-y) 3.f(x,y)=e^(-y)不等于fX(x)*fY(y),故X和Y不独立 4。概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2）

Answer 3

解：(1)，利用概率密度函数的性质，有∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)f(x,y)dxdy=1，∴k∫(0,1)∫(0,1)(x+y)dxdy=1。而，∫(0,1)(x+y)dy=x+1/2，∴k∫(0,1)(x+1/2)dx=1，k=1。 (2)，P(x<1/2,y<1/2)=∫(0,1/2)∫(0,1/2)(x+y)dxdy=∫(0,1/2)(x/2+1/8)dx=3/8。 (3)，P(x+y<1)=∫(0,1)∫(0,1-x)(x+y)dxdy=(1/2)∫(0,1)(1-x2)dx=1/3。 (4)，∵X的边缘分布的密度函数为fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=∫(0,1)f(x,y)dy=x+1/2，∴P(x<1/2)=∫(0,1/2)(x+1/2)dx=3/8。供参考。追问

哥 你是不是随手粘贴过来的 这不是我问题的答呀🌝

本回答被网友采纳