高等数学介值定理运用

Question

证明:若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,函数g(x,y)在D上可积,且g(x,y)≥0,(x,y)属于D,则至少存在一点（a,b）属于D,使得∫∫(区域D) f(x,y)g(x,y)dΔ=f(a,b)∫∫(区域D)g(x,y)dΔ。题解说直接运用介值定理，但是并没有说明函数g(x,y)连续性，为什么还是能运用介值定理？m*∫∫(区域D)g(x,y)dΔ<=∫∫(区域D)f(x,y)g(x,y)dΔ<=M*∫∫(区域D)g(x,y)dΔ

Answer 1

因为介值性质对f用, 而不是对g用
你自己也已经写了, m*∫∫(区域D)g(x,y)dΔ<=∫∫(区域D)f(x,y)g(x,y)dΔ<=M*∫∫(区域D)g(x,y)dΔ, 其中m和M分别是f的最小值和最大值, 所以在[m,M]中存在k使得∫∫(区域D)f(x,y)g(x,y)dΔ=k*∫∫(区域D)g(x,y)dΔ, 对f用介值性质, 存在(a,b)使得f(a,b)=k.

Answer 2

“函数g(x,y)在D上可积”，可积即可。