请问这道题函数极限证明里限制范围δ怎么取？已经折磨我好久了，急求！请问下图中画红线的那句话我不太懂

Question

为什么取不了1/2或者1呢？一般不都是取1吗？这个怎么看限制范围δ的取值？

Answer 1

一般δ(ε)的取法有：

放缩，直接让他小于ε

用|f(x)-f(x_0)|<ε解不等式，然后取δ为不等式的解。

主要就这两种

你不就是想让这个成立吗。。

所以才取1/4的啊。。

Answer 2

有个间断点，X=1/2
极限是在x=1的连续的邻域内，才能连续变化，不能跨过间断点，特别是这样的无穷间断点。追问

那请问另外一道x趋近于2时x^3-1/x-1=1的证明这里面为什么可以限制|x-1|=1？这里面x=1难道不是间断点吗？

追答

这里x=1其实是可去间断点，左右极限相等，只要补充定义x=1，f(x)=[x²+x+1](x=1)=3
其实1/2，1，这些数字，只是解题人的一种选择。可以有无穷多的选项，因为这些函数都是连续的，0.5，0.55，0.55555，0.99，1.01，1.02，.........，有什么区别？没有纠结的必要，1/2，1，都不是必选项。只要是满足极限定义的任何数，都是正确的。

追问

好的👌我明白了！谢谢！

另外请问这个函数图像看间断点的话是看x趋于间断点时|f(x)-A|的图像还是正常x趋于间断点时f(x)的图像？