用拉格朗日中值定理证明,在(0,1)上可导表示函数在(0,1)上连续,函数的导数有界,则任意的(f(x)-f(x0))/(x-x0)有界,其中x-x0小于1,则函数f(x)有界。
f'(x)在(a,b)上有界,f(x)在在(a,b)一定有界。
f(x)在(a,b)上无界,f'(x)在(a,b)上一定无界。
在无穷区间上,以f(x)或f'(x)无界为条件分别推不出他们关于有界与无界的结论。
可导,即设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件:
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。
可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。