用拉格朗日中值定理证明，在（0,1）上可导表示函数在（0,1）上连续，函数的导数有界，则任意的(f(x)-f(x0))/(x-x0)有界,其中x-x0小于1，则函数f(x)有界。
f'(x)在(a,b)上有界，f(x)在在(a,b)一定有界
f(x)在(a,b)上无界，f'(x)在(a,b)上一定无界
在无穷区间上，以f(x)或f'(x)无界为条件分别推不出他们关于有界与无界的结论。
扩展资料：
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）
参考资料来源：百度百科-有界函数