如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，求弦AD、CD的长。

Question

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，求弦AD、CD的长。

Answer 1

解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，BC= =8（cm）， ∵CD平分∠ACB，∴ 进而AD=BD， 于是在Rt△ABD中，得AD=BD= AB=5 （cm）， 过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F、G是垂足，则四边形CFEG是正方形， 设EF=EG=x，由三角形面积公式，得 AC·x+ BC·x= AC·BC， 即 ×6·x+12×8×x=12×6×8，解得x= ， ∴CE=2x= ， 由△ADE∽△CBE，得DE:BE=AE:CE=AD:BC， 即DE:BE=AE: =5 :8， 解得AE= ，BE=AB-AE=10- = ， ∴DE= ， 因此CD=CE+DE= + =7 （cm）， 答：AD、CD的长依次为5cm ，7cm 。 说明：另法一求CD时还可以作CG⊥AE，垂足为G，连接OD，另法二过A作AF⊥CD于F，则△ACF是等腰直角三角形。