部分和数列有界问题

Question

数项级数部分和数列有界问题是该级数收敛的——绝对条件
正项级数部分和数列有界问题是该级数收敛的——充要条件

我不太明白“部分和”这三个字到底表达什么意思。

数列本身是无穷项，无穷项的和，可能是有界，也可能无界，这个好理解

但是部分项的和，那一定是有界的啊，只有当n趋于无穷大，这个部分项才会无界，但是当n趋于无穷大了，那就不存在部分项了，就是整个数列了不是么？

我理解的偏差在哪？

Answer 1

部分和数列就是级数一部分之和，他的每一项都是原级数的部分和：第一项为原级数第一项，第二项为原级数前两项的和，第三项为原级数前三项的和……第n项为原级数钱n项的和……如果部分和数列当n趋于无穷大时的极限s存在，则原级数的和就是极限s，很好理解啊！追问

那么部分和是不是必然有界？

追答

部分和不一定收敛，当原级数发散时，部分和数列肯定也是发散的

追问

n={1、2、3、4……}发散
我选1、2、3，这算不算部分和？等于6，算不算有界？

追答

部分和数列是一个数列，它是原级数前n部分之和，它本身也有无穷项，它是否收敛也要看当n趋于无穷大时是否有极限！你说的n={1、2、3、4……}发散，它的部分和数列为1,3,6,10……n（n+1）/2……显然当n趋于无穷大时，n（n+1）/2趋于无穷大，所以它的部分和数列发散。发散和有界是看当n趋于无穷大时它是否有极限，它的每一项肯定都是一个常数。

追问

懂了，非常感谢。

Answer 2

部分和是指从第一项一直加到某一具体项（比如第 1000 项）的和。
你理解的没有偏差。部分和即使 n 再大，也是有界的。因为是有限项的和，肯定有界。

Answer 3

第一个“数项级数”不知道你指的是什么
关于你的问题。“部分和有界”指的是部分和 s_n 组成的数列 {s_n} 有界， 不是指单独某一个部分和。 注意到数列{s_n} 单调递增 （因为原数列 {a_n} 的所有元素为正）， 如果它有界，那么单调有界数列必有极限，即 lim s_n 存在。 注意到lim\sum a_n (原来的无穷级数)=lim s_n（部分和的极限）【可以想下为什么】，那么级数收敛

Answer 4

根据数列有界性定义
定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。

Answer 5

如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。如果正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到正无穷。本回答被网友采纳