证明三角形三条高交于一点的不同方法

Question

目前我已知两种,等结果出来了我在公布

Answer 1

 
1.塞瓦定理的逆定理 
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 
2.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点 
用几何方法更方便
如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG延长交BC与F，现在要证明AF⊥BC。
由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以∠DAG=∠DEG
同理有DEBC四点共圆，所以有∠BCD=∠DEG
所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=90度
所以AF⊥BC
所以三条高交与一点。
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